Ensembles finis Exemples

$\begin{array}{c} x & P (x) \\ 1 & 0.3 \\ 3 & 0.1 \\ 0 & 0.2 \\ 2 & 0.3 \\ 4 & 0.1 \end{array}$

Étape 1

Démontrez que la table donnée respecte les deux propriétés requises pour une distribution de probabilité.

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Étape 1.1

Une variable aléatoire discrète $x$ prend un ensemble de valeurs séparées (tel que $0$ , $1$ , $2$ ...). Sa distribution de probabilité affecte une probabilité $P (x)$ à chaque valeur possible $x$ . Pour chaque $x$ , la probabilité $P (x)$ diminue entre $0$ et $1$ inclus et la somme des probabilités pour toutes les valeurs $x$ possibles est égale à $1$ .

1. Pour chaque $x$ , $0 \leq P (x) \leq 1$ .

2. $P (x_{0}) + P (x_{1}) + P (x_{2}) + \dots + P (x_{n}) = 1$ .

Étape 1.2

$0.3$ est compris entre $0$ et $1$ inclus, ce qui correspond à la première propriété de la distribution de probabilité.

$0.3$ est compris entre $0$ et $1$ inclus

Étape 1.3

$0.1$ est compris entre $0$ et $1$ inclus, ce qui correspond à la première propriété de la distribution de probabilité.

$0.1$ est compris entre $0$ et $1$ inclus

Étape 1.4

$0.2$ est compris entre $0$ et $1$ inclus, ce qui correspond à la première propriété de la distribution de probabilité.

$0.2$ est compris entre $0$ et $1$ inclus

Étape 1.5

$0.3$ est compris entre $0$ et $1$ inclus, ce qui correspond à la première propriété de la distribution de probabilité.

$0.3$ est compris entre $0$ et $1$ inclus

Étape 1.6

$0.1$ est compris entre $0$ et $1$ inclus, ce qui correspond à la première propriété de la distribution de probabilité.

$0.1$ est compris entre $0$ et $1$ inclus

Étape 1.7

Pour chaque $x$ , la probabilité $P (x)$ est compris entre $0$ et $1$ inclus, ce qui correspond à la première propriété de la distribution de probabilité.

$0 \leq P (x) \leq 1$ pour toutes les valeurs x

Étape 1.8

Déterminez la somme des probabilités pour toutes les valeurs $x$ possibles.

$0.3 + 0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.1$

Étape 1.9

La somme des probabilités pour toutes les valeurs $x$ possibles est $0.3 + 0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.1 = 1$ .

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Étape 1.9.1

Additionnez $0.3$ et $0.1$ .

$0.4 + 0.2 + 0.3 + 0.1$

Étape 1.9.2

Additionnez $0.4$ et $0.2$ .

$0.6 + 0.3 + 0.1$

Étape 1.9.3

Additionnez $0.6$ et $0.3$ .

$0.9 + 0.1$

Étape 1.9.4

Additionnez $0.9$ et $0.1$ .

$1$

Étape 1.10

Pour chaque $x$ , la probabilité de $P (x)$ est comprise entre $0$ et $1$ inclus. Par ailleurs, la somme des probabilités pour tous les $x$ possibles est égale à $1$ , ce qui signifie que la table respecte les deux propriétés d’une distribution de probabilité

La table respecte les deux propriétés d’une distribution de probabilité :

Propriété 1 : $0 \leq P (x) \leq 1$ pour toutes les valeurs $x$

Propriété 2 : $0.3 + 0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.1 = 1$

La table respecte les deux propriétés d’une distribution de probabilité :

Propriété 1 : $0 \leq P (x) \leq 1$ pour toutes les valeurs $x$

Propriété 2 : $0.3 + 0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.1 = 1$

Étape 2

L’espérance mathématique d’une distribution est la valeur attendue si les essais de la distribution pourraient continuer infiniment. Elle est égale à chaque valeur multipliée par sa probabilité discrète.

$u = 1 \cdot 0.3 + 3 \cdot 0.1 + 0 \cdot 0.2 + 2 \cdot 0.3 + 4 \cdot 0.1$

Étape 3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1

Multipliez $0.3$ par $1$ .

$u = 0.3 + 3 \cdot 0.1 + 0 \cdot 0.2 + 2 \cdot 0.3 + 4 \cdot 0.1$

Étape 3.2

Multipliez $3$ par $0.1$ .

$u = 0.3 + 0.3 + 0 \cdot 0.2 + 2 \cdot 0.3 + 4 \cdot 0.1$

Étape 3.3

Multipliez $0$ par $0.2$ .

$u = 0.3 + 0.3 + 0 + 2 \cdot 0.3 + 4 \cdot 0.1$

Étape 3.4

Multipliez $2$ par $0.3$ .

$u = 0.3 + 0.3 + 0 + 0.6 + 4 \cdot 0.1$

Étape 3.5

Multipliez $4$ par $0.1$ .

$u = 0.3 + 0.3 + 0 + 0.6 + 0.4$

Étape 4

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 4.1

Additionnez $0.3$ et $0.3$ .

$u = 0.6 + 0 + 0.6 + 0.4$

Étape 4.2

Additionnez $0.6$ et $0$ .

$u = 0.6 + 0.6 + 0.4$

Étape 4.3

Additionnez $0.6$ et $0.6$ .

$u = 1.2 + 0.4$

Étape 4.4

Additionnez $1.2$ et $0.4$ .

$u = 1.6$

Étape 5

La variance d’une distribution est une mesure de la dispersion et est égale au carrée de l’écart-type.

$s^{2} = \sum_{}^{} {(x - u)}^{2} \cdot (P (x))$

Étape 6

Renseignez les valeurs connues.

${(1 - (1.6))}^{2} \cdot 0.3 + {(3 - (1.6))}^{2} \cdot 0.1 + {(0 - (1.6))}^{2} \cdot 0.2 + {(2 - (1.6))}^{2} \cdot 0.3 + {(4 - (1.6))}^{2} \cdot 0.1$

Étape 7

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.1.1

Multipliez $- 1$ par $1.6$ .

${(1 - 1.6)}^{2} \cdot 0.3 + {(3 - (1.6))}^{2} \cdot 0.1 + {(0 - (1.6))}^{2} \cdot 0.2 + {(2 - (1.6))}^{2} \cdot 0.3 + {(4 - (1.6))}^{2} \cdot 0.1$

Étape 7.1.2

Soustrayez $1.6$ de $1$ .

${(- 0.6)}^{2} \cdot 0.3 + {(3 - (1.6))}^{2} \cdot 0.1 + {(0 - (1.6))}^{2} \cdot 0.2 + {(2 - (1.6))}^{2} \cdot 0.3 + {(4 - (1.6))}^{2} \cdot 0.1$

Étape 7.1.3

Élevez $- 0.6$ à la puissance $2$ .

$0.36 \cdot 0.3 + {(3 - (1.6))}^{2} \cdot 0.1 + {(0 - (1.6))}^{2} \cdot 0.2 + {(2 - (1.6))}^{2} \cdot 0.3 + {(4 - (1.6))}^{2} \cdot 0.1$

Étape 7.1.4

Multipliez $0.36$ par $0.3$ .

$0.108 + {(3 - (1.6))}^{2} \cdot 0.1 + {(0 - (1.6))}^{2} \cdot 0.2 + {(2 - (1.6))}^{2} \cdot 0.3 + {(4 - (1.6))}^{2} \cdot 0.1$

Étape 7.1.5

Multipliez $- 1$ par $1.6$ .

$0.108 + {(3 - 1.6)}^{2} \cdot 0.1 + {(0 - (1.6))}^{2} \cdot 0.2 + {(2 - (1.6))}^{2} \cdot 0.3 + {(4 - (1.6))}^{2} \cdot 0.1$

Étape 7.1.6

Soustrayez $1.6$ de $3$ .

$0.108 + {1.4}^{2} \cdot 0.1 + {(0 - (1.6))}^{2} \cdot 0.2 + {(2 - (1.6))}^{2} \cdot 0.3 + {(4 - (1.6))}^{2} \cdot 0.1$

Étape 7.1.7

Élevez $1.4$ à la puissance $2$ .

$0.108 + 1.96 \cdot 0.1 + {(0 - (1.6))}^{2} \cdot 0.2 + {(2 - (1.6))}^{2} \cdot 0.3 + {(4 - (1.6))}^{2} \cdot 0.1$

Étape 7.1.8

Multipliez $1.96$ par $0.1$ .

$0.108 + 0.196 + {(0 - (1.6))}^{2} \cdot 0.2 + {(2 - (1.6))}^{2} \cdot 0.3 + {(4 - (1.6))}^{2} \cdot 0.1$

Étape 7.1.9

Multipliez $- 1$ par $1.6$ .

$0.108 + 0.196 + {(0 - 1.6)}^{2} \cdot 0.2 + {(2 - (1.6))}^{2} \cdot 0.3 + {(4 - (1.6))}^{2} \cdot 0.1$

Étape 7.1.10

Soustrayez $1.6$ de $0$ .

$0.108 + 0.196 + {(- 1.6)}^{2} \cdot 0.2 + {(2 - (1.6))}^{2} \cdot 0.3 + {(4 - (1.6))}^{2} \cdot 0.1$

Étape 7.1.11

Élevez $- 1.6$ à la puissance $2$ .

$0.108 + 0.196 + 2.56 \cdot 0.2 + {(2 - (1.6))}^{2} \cdot 0.3 + {(4 - (1.6))}^{2} \cdot 0.1$

Étape 7.1.12

Multipliez $2.56$ par $0.2$ .

$0.108 + 0.196 + 0.512 + {(2 - (1.6))}^{2} \cdot 0.3 + {(4 - (1.6))}^{2} \cdot 0.1$

Étape 7.1.13

Multipliez $- 1$ par $1.6$ .

$0.108 + 0.196 + 0.512 + {(2 - 1.6)}^{2} \cdot 0.3 + {(4 - (1.6))}^{2} \cdot 0.1$

Étape 7.1.14

Soustrayez $1.6$ de $2$ .

$0.108 + 0.196 + 0.512 + {0.4}^{2} \cdot 0.3 + {(4 - (1.6))}^{2} \cdot 0.1$

Étape 7.1.15

Élevez $0.4$ à la puissance $2$ .

$0.108 + 0.196 + 0.512 + 0.16 \cdot 0.3 + {(4 - (1.6))}^{2} \cdot 0.1$

Étape 7.1.16

Multipliez $0.16$ par $0.3$ .

$0.108 + 0.196 + 0.512 + 0.048 + {(4 - (1.6))}^{2} \cdot 0.1$

Étape 7.1.17

Multipliez $- 1$ par $1.6$ .

$0.108 + 0.196 + 0.512 + 0.048 + {(4 - 1.6)}^{2} \cdot 0.1$

Étape 7.1.18

Soustrayez $1.6$ de $4$ .

$0.108 + 0.196 + 0.512 + 0.048 + {2.4}^{2} \cdot 0.1$

Étape 7.1.19

Élevez $2.4$ à la puissance $2$ .

$0.108 + 0.196 + 0.512 + 0.048 + 5.76 \cdot 0.1$

Étape 7.1.20

Multipliez $5.76$ par $0.1$ .

$0.108 + 0.196 + 0.512 + 0.048 + 0.576$

Étape 7.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 7.2.1

Additionnez $0.108$ et $0.196$ .

$0.304 + 0.512 + 0.048 + 0.576$

Étape 7.2.2

Additionnez $0.304$ et $0.512$ .

$0.816 + 0.048 + 0.576$

Étape 7.2.3

Additionnez $0.816$ et $0.048$ .

$0.864 + 0.576$

Étape 7.2.4

Additionnez $0.864$ et $0.576$ .

$1.44$