Ensembles finis Exemples

$r = 4 \sin (θ)$ , $r = 4 \cos (θ)$

Étape 1

Éliminez les côtés égaux de chaque équation et associez.

$4 \sin (θ) = 4 \cos (θ)$

Étape 2

Résolvez $4 \sin (θ) = 4 \cos (θ)$ pour $θ$ .

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Étape 2.1

Divisez chaque terme dans l’équation par $\cos (θ)$ .

$\frac{4 \sin (θ)}{\cos (θ)} = \frac{4 \cos (θ)}{\cos (θ)}$

Étape 2.2

Séparez les fractions.

$\frac{4}{1} \cdot \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} = \frac{4 \cos (θ)}{\cos (θ)}$

Étape 2.3

Convertissez de $\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ à $\tan (θ)$ .

$\frac{4}{1} \cdot \tan (θ) = \frac{4 \cos (θ)}{\cos (θ)}$

Étape 2.4

Divisez $4$ par $1$ .

$4 \tan (θ) = \frac{4 \cos (θ)}{\cos (θ)}$

Étape 2.5

Annulez le facteur commun de $\cos (θ)$ .

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Étape 2.5.1

Annulez le facteur commun.

$4 \tan (θ) = \frac{4 \cos (θ)}{\cos (θ)}$

Étape 2.5.2

Divisez $4$ par $1$ .

$4 \tan (θ) = 4$

Étape 2.6

Divisez chaque terme dans $4 \tan (θ) = 4$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 2.6.1

Divisez chaque terme dans $4 \tan (θ) = 4$ par $4$ .

$\frac{4 \tan (θ)}{4} = \frac{4}{4}$

Étape 2.6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.6.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \tan (θ)}{4} = \frac{4}{4}$

Étape 2.6.2.1.2

Divisez $\tan (θ)$ par $1$ .

$\tan (θ) = \frac{4}{4}$

Étape 2.6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.6.3.1

Divisez $4$ par $4$ .

$\tan (θ) = 1$

Étape 2.7

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $θ$ de l’intérieur de la tangente.

$θ = \arctan (1)$

Étape 2.8

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.8.1

La valeur exacte de $\arctan (1)$ est $\frac{π}{4}$ .

$θ = \frac{π}{4}$

Étape 2.9

La fonction tangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, ajoutez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$θ = π + \frac{π}{4}$

Étape 2.10

Simplifiez $π + \frac{π}{4}$ .

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Étape 2.10.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$θ = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Étape 2.10.2

Associez les fractions.

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Étape 2.10.2.1

Associez $π$ et $\frac{4}{4}$ .

$θ = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Étape 2.10.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$θ = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Étape 2.10.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.10.3.1

Déplacez $4$ à gauche de $π$ .

$θ = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Étape 2.10.3.2

Additionnez $4 π$ et $π$ .

$θ = \frac{5 π}{4}$

Étape 2.11

Déterminez la période de $\tan (θ)$ .

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Étape 2.11.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 2.11.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 2.11.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 2.11.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 2.12

La période de la fonction $\tan (θ)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$θ = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 3

Évaluez $r$ quand $θ = \frac{π}{4} + π n$ .

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Étape 3.1

Remplacez $θ$ par $\frac{π}{4} + π n$ .

$r = 4 \cos (\frac{π}{4} + π n)$

Étape 3.2

Supprimez les parenthèses.

$r = 4 \cos (\frac{π}{4} + π n)$

Étape 4

Évaluez $r$ quand $θ = \frac{5 π}{4} + π n$ .

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Étape 4.1

Remplacez $θ$ par $\frac{5 π}{4} + π n$ .

$r = 4 \cos (\frac{5 π}{4} + π n)$

Étape 4.2

Supprimez les parenthèses.

$r = 4 \cos (\frac{5 π}{4} + π n)$

Étape 5

La solution du système d’équations est l’ensemble des valeurs qui rendent le système vrai.

$r = 4 \cos (\frac{π}{4} + π n), θ = \frac{π}{4} + π n r = 4 \cos (\frac{5 π}{4} + π n), θ = \frac{5 π}{4} + π n$

Étape 6

Indiquez toutes les solutions.

$r = 4 \cos (\frac{π}{4} + π n), θ = \frac{π}{4} + π n$

$r = 4 \cos (\frac{5 π}{4} + π n), θ = \frac{5 π}{4} + π n$