Ensembles finis Exemples

$A = [\begin{array}{c} 0 & 1 & - 1 \\ 2 & - 2 & - 1 \\ - 1 & 1 & 1 \end{array}]$

Étape 1

Find the determinant.

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Étape 1.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Étape 1.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 1.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Étape 1.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 2 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Étape 1.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} - 2 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Étape 1.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & 1 \end{array} |$

Étape 1.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & 1 \end{array} |$

Étape 1.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & - 2 \\ - 1 & 1 \end{array} |$

Étape 1.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} 2 & - 2 \\ - 1 & 1 \end{array} |$

Étape 1.1.9

Add the terms together.

$0 | \begin{array}{c} - 2 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & 1 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 2 & - 2 \\ - 1 & 1 \end{array} |$

Étape 1.2

Multipliez $0$ par $| \begin{array}{c} - 2 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$ .

$0 - 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & 1 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 2 & - 2 \\ - 1 & 1 \end{array} |$

Étape 1.3

Évaluez $| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & 1 \end{array} |$ .

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Étape 1.3.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$0 - 1 (2 \cdot 1 - - - 1) - 1 | \begin{array}{c} 2 & - 2 \\ - 1 & 1 \end{array} |$

Étape 1.3.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 1.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.2.1.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$0 - 1 (2 - - - 1) - 1 | \begin{array}{c} 2 & - 2 \\ - 1 & 1 \end{array} |$

Étape 1.3.2.1.2

Multipliez $- - - 1$ .

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Étape 1.3.2.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$0 - 1 (2 - 1 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 2 & - 2 \\ - 1 & 1 \end{array} |$

Étape 1.3.2.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$0 - 1 (2 - 1) - 1 | \begin{array}{c} 2 & - 2 \\ - 1 & 1 \end{array} |$

Étape 1.3.2.2

Soustrayez $1$ de $2$ .

$0 - 1 \cdot 1 - 1 | \begin{array}{c} 2 & - 2 \\ - 1 & 1 \end{array} |$

Étape 1.4

Évaluez $| \begin{array}{c} 2 & - 2 \\ - 1 & 1 \end{array} |$ .

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Étape 1.4.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$0 - 1 \cdot 1 - 1 (2 \cdot 1 - - - 2)$

Étape 1.4.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 1.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.2.1.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$0 - 1 \cdot 1 - 1 (2 - - - 2)$

Étape 1.4.2.1.2

Multipliez $- - - 2$ .

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Étape 1.4.2.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$0 - 1 \cdot 1 - 1 (2 - 1 \cdot 2)$

Étape 1.4.2.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$0 - 1 \cdot 1 - 1 (2 - 2)$

Étape 1.4.2.2

Soustrayez $2$ de $2$ .

$0 - 1 \cdot 1 - 1 \cdot 0$

Étape 1.5

Simplifiez le déterminant.

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Étape 1.5.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$0 - 1 - 1 \cdot 0$

Étape 1.5.2

Soustrayez $1$ de $0$ .

$- 1 - 1 \cdot 0$

Étape 1.5.3

Soustrayez $0$ de $- 1$ .

$- 1$

Étape 2

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Étape 3

Set up a $3 \times 6$ matrix where the left half is the original matrix and the right half is its identity matrix.

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & - 2 & - 1 & 0 & 1 & 0 \\ - 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 4

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.

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Étape 4.1

Swap $R_{2}$ with $R_{1}$ to put a nonzero entry at $1, 1$ .

$[\begin{array}{c} 2 & - 2 & - 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ - 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 4.2

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Étape 4.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{2} & \frac{- 2}{2} & \frac{- 1}{2} & \frac{0}{2} & \frac{1}{2} & \frac{0}{2} \\ 0 & 1 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ - 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 4.2.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ - 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 4.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

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Étape 4.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ - 1 + 1 \cdot 1 & 1 - 1 & 1 - \frac{1}{2} & 0 + 0 & 0 + \frac{1}{2} & 1 + 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2

Simplifiez $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} & 1 \end{array}]$

Étape 4.4

Multiply each element of $R_{3}$ by $2$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

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Étape 4.4.1

Multiply each element of $R_{3}$ by $2$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 (\frac{1}{2}) & 2 \cdot 0 & 2 (\frac{1}{2}) & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.4.2

Simplifiez $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \end{array}]$

Étape 4.5

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

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Étape 4.5.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & 1 + 0 & 0 + 1 \cdot 1 & 0 + 1 \cdot 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \end{array}]$

Étape 4.5.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \end{array}]$

Étape 4.6

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{1}{2} R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

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Étape 4.6.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{1}{2} R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{1}{2} \cdot 0 & - 1 + \frac{1}{2} \cdot 0 & - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot 1 & 0 + \frac{1}{2} \cdot 0 & \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot 1 & 0 + \frac{1}{2} \cdot 2 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \end{array}]$

Étape 4.6.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \end{array}]$

Étape 4.7

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

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Étape 4.7.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & 0 + 0 & 0 + 1 \cdot 1 & 1 + 1 \cdot 1 & 1 + 1 \cdot 2 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \end{array}]$

Étape 4.7.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \end{array}]$

Étape 5

The right half of the reduced row echelon form is the inverse.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 2 \end{array}]$