Ensembles finis Exemples

$\frac{5}{4} x - \frac{2}{3} y = 3$ , $\frac{1}{4} x + \frac{5}{3} y = 6$

Étape 1

Résolvez $x$ dans $\frac{5}{4} x - \frac{2}{3} y = 3$ .

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Étape 1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1

Associez $\frac{5}{4}$ et $x$ .

$\frac{5 x}{4} - \frac{2}{3} y = 3$

$\frac{1}{4} x + \frac{5}{3} y = 6$

Étape 1.1.2

Associez $y$ et $\frac{2}{3}$ .

$\frac{5 x}{4} - \frac{y \cdot 2}{3} = 3$

$\frac{1}{4} x + \frac{5}{3} y = 6$

Étape 1.1.3

Déplacez $2$ à gauche de $y$ .

$\frac{5 x}{4} - \frac{2 y}{3} = 3$

$\frac{1}{4} x + \frac{5}{3} y = 6$

$\frac{5 x}{4} - \frac{2 y}{3} = 3$

$\frac{1}{4} x + \frac{5}{3} y = 6$

Étape 1.2

Ajoutez $\frac{2 y}{3}$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{5 x}{4} = 3 + \frac{2 y}{3}$

$\frac{1}{4} x + \frac{5}{3} y = 6$

Étape 1.3

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\frac{4}{5}$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{5 x}{4} = \frac{4}{5} \cdot (3 + \frac{2 y}{3})$

$\frac{1}{4} x + \frac{5}{3} y = 6$

Étape 1.4

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 1.4.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1.1

Simplifiez $\frac{4}{5} \cdot \frac{5 x}{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1.1.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 1.4.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4}{5} \cdot \frac{5 x}{4} = \frac{4}{5} \cdot (3 + \frac{2 y}{3})$

$\frac{1}{4} x + \frac{5}{3} y = 6$

Étape 1.4.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{5} \cdot (5 x) = \frac{4}{5} \cdot (3 + \frac{2 y}{3})$

$\frac{1}{4} x + \frac{5}{3} y = 6$

$\frac{1}{5} \cdot (5 x) = \frac{4}{5} \cdot (3 + \frac{2 y}{3})$

$\frac{1}{4} x + \frac{5}{3} y = 6$

Étape 1.4.1.1.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 1.4.1.1.2.1

Factorisez $5$ à partir de $5 x$ .

$\frac{1}{5} \cdot (5 (x)) = \frac{4}{5} \cdot (3 + \frac{2 y}{3})$

$\frac{1}{4} x + \frac{5}{3} y = 6$

Étape 1.4.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{5} \cdot (5 x) = \frac{4}{5} \cdot (3 + \frac{2 y}{3})$

$\frac{1}{4} x + \frac{5}{3} y = 6$

Étape 1.4.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{4}{5} \cdot (3 + \frac{2 y}{3})$

$\frac{1}{4} x + \frac{5}{3} y = 6$

$x = \frac{4}{5} \cdot (3 + \frac{2 y}{3})$

$\frac{1}{4} x + \frac{5}{3} y = 6$

$x = \frac{4}{5} \cdot (3 + \frac{2 y}{3})$

$\frac{1}{4} x + \frac{5}{3} y = 6$

$x = \frac{4}{5} \cdot (3 + \frac{2 y}{3})$

$\frac{1}{4} x + \frac{5}{3} y = 6$

Étape 1.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.4.2.1

Simplifiez $\frac{4}{5} (3 + \frac{2 y}{3})$ .

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Étape 1.4.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{4}{5} \cdot 3 + \frac{4}{5} \cdot \frac{2 y}{3}$

$\frac{1}{4} x + \frac{5}{3} y = 6$

Étape 1.4.2.1.2

Multipliez $\frac{4}{5} \cdot 3$ .

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Étape 1.4.2.1.2.1

Associez $\frac{4}{5}$ et $3$ .

$x = \frac{4 \cdot 3}{5} + \frac{4}{5} \cdot \frac{2 y}{3}$

$\frac{1}{4} x + \frac{5}{3} y = 6$

Étape 1.4.2.1.2.2

Multipliez $4$ par $3$ .

$x = \frac{12}{5} + \frac{4}{5} \cdot \frac{2 y}{3}$

$\frac{1}{4} x + \frac{5}{3} y = 6$

$x = \frac{12}{5} + \frac{4}{5} \cdot \frac{2 y}{3}$

$\frac{1}{4} x + \frac{5}{3} y = 6$

Étape 1.4.2.1.3

Multipliez $\frac{4}{5} \cdot \frac{2 y}{3}$ .

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Étape 1.4.2.1.3.1

Multipliez $\frac{4}{5}$ par $\frac{2 y}{3}$ .

$x = \frac{12}{5} + \frac{4 (2 y)}{5 \cdot 3}$

$\frac{1}{4} x + \frac{5}{3} y = 6$

Étape 1.4.2.1.3.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$x = \frac{12}{5} + \frac{8 y}{5 \cdot 3}$

$\frac{1}{4} x + \frac{5}{3} y = 6$

Étape 1.4.2.1.3.3

Multipliez $5$ par $3$ .

$x = \frac{12}{5} + \frac{8 y}{15}$

$\frac{1}{4} x + \frac{5}{3} y = 6$

$x = \frac{12}{5} + \frac{8 y}{15}$

$\frac{1}{4} x + \frac{5}{3} y = 6$

$x = \frac{12}{5} + \frac{8 y}{15}$

$\frac{1}{4} x + \frac{5}{3} y = 6$

$x = \frac{12}{5} + \frac{8 y}{15}$

$\frac{1}{4} x + \frac{5}{3} y = 6$

$x = \frac{12}{5} + \frac{8 y}{15}$

$\frac{1}{4} x + \frac{5}{3} y = 6$

Étape 1.5

Remettez dans l’ordre $\frac{12}{5}$ et $\frac{8 y}{15}$ .

$x = \frac{8 y}{15} + \frac{12}{5}$

$\frac{1}{4} x + \frac{5}{3} y = 6$

$x = \frac{8 y}{15} + \frac{12}{5}$

$\frac{1}{4} x + \frac{5}{3} y = 6$

Étape 2

Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $\frac{8 y}{15} + \frac{12}{5}$ dans chaque équation.

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Étape 2.1

Remplacez toutes les occurrences de $x$ dans $\frac{1}{4} x + \frac{5}{3} y = 6$ par $\frac{8 y}{15} + \frac{12}{5}$ .

$\frac{1}{4} \cdot (\frac{8 y}{15} + \frac{12}{5}) + \frac{5}{3} y = 6$

$x = \frac{8 y}{15} + \frac{12}{5}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez $\frac{1}{4} \cdot (\frac{8 y}{15} + \frac{12}{5}) + \frac{5}{3} y$ .

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Étape 2.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{8 y}{15} + \frac{1}{4} \cdot \frac{12}{5} + \frac{5}{3} y = 6$

$x = \frac{8 y}{15} + \frac{12}{5}$

Étape 2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.2.1.1.2.1

Factorisez $4$ à partir de $8 y$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{4 (2 y)}{15} + \frac{1}{4} \cdot \frac{12}{5} + \frac{5}{3} y = 6$

$x = \frac{8 y}{15} + \frac{12}{5}$

Étape 2.2.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{4 (2 y)}{15} + \frac{1}{4} \cdot \frac{12}{5} + \frac{5}{3} y = 6$

$x = \frac{8 y}{15} + \frac{12}{5}$

Étape 2.2.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 y}{15} + \frac{1}{4} \cdot \frac{12}{5} + \frac{5}{3} y = 6$

$x = \frac{8 y}{15} + \frac{12}{5}$

$\frac{2 y}{15} + \frac{1}{4} \cdot \frac{12}{5} + \frac{5}{3} y = 6$

$x = \frac{8 y}{15} + \frac{12}{5}$

Étape 2.2.1.1.3

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.2.1.1.3.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$\frac{2 y}{15} + \frac{1}{4} \cdot \frac{4 (3)}{5} + \frac{5}{3} y = 6$

$x = \frac{8 y}{15} + \frac{12}{5}$

Étape 2.2.1.1.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y}{15} + \frac{1}{4} \cdot \frac{4 \cdot 3}{5} + \frac{5}{3} y = 6$

$x = \frac{8 y}{15} + \frac{12}{5}$

Étape 2.2.1.1.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 y}{15} + \frac{3}{5} + \frac{5}{3} y = 6$

$x = \frac{8 y}{15} + \frac{12}{5}$

$\frac{2 y}{15} + \frac{3}{5} + \frac{5}{3} y = 6$

$x = \frac{8 y}{15} + \frac{12}{5}$

Étape 2.2.1.1.4

Associez $\frac{5}{3}$ et $y$ .

$\frac{2 y}{15} + \frac{3}{5} + \frac{5 y}{3} = 6$

$x = \frac{8 y}{15} + \frac{12}{5}$

$\frac{2 y}{15} + \frac{3}{5} + \frac{5 y}{3} = 6$

$x = \frac{8 y}{15} + \frac{12}{5}$

Étape 2.2.1.2

Pour écrire $\frac{5 y}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$\frac{2 y}{15} + \frac{5 y}{3} \cdot \frac{5}{5} + \frac{3}{5} = 6$

$x = \frac{8 y}{15} + \frac{12}{5}$

Étape 2.2.1.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $15$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.2.1.3.1

Multipliez $\frac{5 y}{3}$ par $\frac{5}{5}$ .

$\frac{2 y}{15} + \frac{5 y \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{3}{5} = 6$

$x = \frac{8 y}{15} + \frac{12}{5}$

Étape 2.2.1.3.2

Multipliez $3$ par $5$ .

$\frac{2 y}{15} + \frac{5 y \cdot 5}{15} + \frac{3}{5} = 6$

$x = \frac{8 y}{15} + \frac{12}{5}$

$\frac{2 y}{15} + \frac{5 y \cdot 5}{15} + \frac{3}{5} = 6$

$x = \frac{8 y}{15} + \frac{12}{5}$

Étape 2.2.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 y + 5 y \cdot 5}{15} + \frac{3}{5} = 6$

$x = \frac{8 y}{15} + \frac{12}{5}$

Étape 2.2.1.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.1.5.1.1

Factorisez $y$ à partir de $2 y + 5 y \cdot 5$ .

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Étape 2.2.1.5.1.1.1

Factorisez $y$ à partir de $2 y$ .

$\frac{y \cdot 2 + 5 y \cdot 5}{15} + \frac{3}{5} = 6$

$x = \frac{8 y}{15} + \frac{12}{5}$

Étape 2.2.1.5.1.1.2

Factorisez $y$ à partir de $5 y \cdot 5$ .

$\frac{y \cdot 2 + y (5 \cdot 5)}{15} + \frac{3}{5} = 6$

$x = \frac{8 y}{15} + \frac{12}{5}$

Étape 2.2.1.5.1.1.3

Factorisez $y$ à partir de $y \cdot 2 + y (5 \cdot 5)$ .

$\frac{y (2 + 5 \cdot 5)}{15} + \frac{3}{5} = 6$

$x = \frac{8 y}{15} + \frac{12}{5}$

$\frac{y (2 + 5 \cdot 5)}{15} + \frac{3}{5} = 6$

$x = \frac{8 y}{15} + \frac{12}{5}$

Étape 2.2.1.5.1.2

Multipliez $5$ par $5$ .

$\frac{y (2 + 25)}{15} + \frac{3}{5} = 6$

$x = \frac{8 y}{15} + \frac{12}{5}$

Étape 2.2.1.5.1.3

Additionnez $2$ et $25$ .

$\frac{y \cdot 27}{15} + \frac{3}{5} = 6$

$x = \frac{8 y}{15} + \frac{12}{5}$

$\frac{y \cdot 27}{15} + \frac{3}{5} = 6$

$x = \frac{8 y}{15} + \frac{12}{5}$

Étape 2.2.1.5.2

Annulez le facteur commun à $27$ et $15$ .

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Étape 2.2.1.5.2.1

Factorisez $3$ à partir de $y \cdot 27$ .

$\frac{3 (y \cdot 9)}{15} + \frac{3}{5} = 6$

$x = \frac{8 y}{15} + \frac{12}{5}$

Étape 2.2.1.5.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.1.5.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $15$ .

$\frac{3 (y \cdot 9)}{3 (5)} + \frac{3}{5} = 6$

$x = \frac{8 y}{15} + \frac{12}{5}$

Étape 2.2.1.5.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (y \cdot 9)}{3 \cdot 5} + \frac{3}{5} = 6$

$x = \frac{8 y}{15} + \frac{12}{5}$

Étape 2.2.1.5.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{y \cdot 9}{5} + \frac{3}{5} = 6$

$x = \frac{8 y}{15} + \frac{12}{5}$

$\frac{y \cdot 9}{5} + \frac{3}{5} = 6$

$x = \frac{8 y}{15} + \frac{12}{5}$

$\frac{y \cdot 9}{5} + \frac{3}{5} = 6$

$x = \frac{8 y}{15} + \frac{12}{5}$

Étape 2.2.1.5.3

Déplacez $9$ à gauche de $y$ .

$\frac{9 y}{5} + \frac{3}{5} = 6$

$x = \frac{8 y}{15} + \frac{12}{5}$

$\frac{9 y}{5} + \frac{3}{5} = 6$

$x = \frac{8 y}{15} + \frac{12}{5}$

$\frac{9 y}{5} + \frac{3}{5} = 6$

$x = \frac{8 y}{15} + \frac{12}{5}$

$\frac{9 y}{5} + \frac{3}{5} = 6$

$x = \frac{8 y}{15} + \frac{12}{5}$

$\frac{9 y}{5} + \frac{3}{5} = 6$

$x = \frac{8 y}{15} + \frac{12}{5}$

Étape 3

Résolvez $y$ dans $\frac{9 y}{5} + \frac{3}{5} = 6$ .

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Étape 3.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.1.1

Soustrayez $\frac{3}{5}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{9 y}{5} = 6 - \frac{3}{5}$

$x = \frac{8 y}{15} + \frac{12}{5}$

Étape 3.1.2

Pour écrire $6$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$\frac{9 y}{5} = 6 \cdot \frac{5}{5} - \frac{3}{5}$

$x = \frac{8 y}{15} + \frac{12}{5}$

Étape 3.1.3

Associez $6$ et $\frac{5}{5}$ .

$\frac{9 y}{5} = \frac{6 \cdot 5}{5} - \frac{3}{5}$

$x = \frac{8 y}{15} + \frac{12}{5}$

Étape 3.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{9 y}{5} = \frac{6 \cdot 5 - 3}{5}$

$x = \frac{8 y}{15} + \frac{12}{5}$

Étape 3.1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.5.1

Multipliez $6$ par $5$ .

$\frac{9 y}{5} = \frac{30 - 3}{5}$

$x = \frac{8 y}{15} + \frac{12}{5}$

Étape 3.1.5.2

Soustrayez $3$ de $30$ .

$\frac{9 y}{5} = \frac{27}{5}$

$x = \frac{8 y}{15} + \frac{12}{5}$

$\frac{9 y}{5} = \frac{27}{5}$

$x = \frac{8 y}{15} + \frac{12}{5}$

$\frac{9 y}{5} = \frac{27}{5}$

$x = \frac{8 y}{15} + \frac{12}{5}$

Étape 3.2

Comme l’expression de chaque côté de l’équation a le même dénominateur, les numérateurs doivent être égaux.

$9 y = 27$

$x = \frac{8 y}{15} + \frac{12}{5}$

Étape 3.3

Divisez chaque terme dans $9 y = 27$ par $9$ et simplifiez.

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Étape 3.3.1

Divisez chaque terme dans $9 y = 27$ par $9$ .

$\frac{9 y}{9} = \frac{27}{9}$

$x = \frac{8 y}{15} + \frac{12}{5}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{9 y}{9} = \frac{27}{9}$

$x = \frac{8 y}{15} + \frac{12}{5}$

Étape 3.3.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{27}{9}$

$x = \frac{8 y}{15} + \frac{12}{5}$

$y = \frac{27}{9}$

$x = \frac{8 y}{15} + \frac{12}{5}$

$y = \frac{27}{9}$

$x = \frac{8 y}{15} + \frac{12}{5}$

Étape 3.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.3.1

Divisez $27$ par $9$ .

$y = 3$

$x = \frac{8 y}{15} + \frac{12}{5}$

$y = 3$

$x = \frac{8 y}{15} + \frac{12}{5}$

$y = 3$

$x = \frac{8 y}{15} + \frac{12}{5}$

$y = 3$

$x = \frac{8 y}{15} + \frac{12}{5}$

Étape 4

Remplacez toutes les occurrences de $y$ par $3$ dans chaque équation.

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Étape 4.1

Remplacez toutes les occurrences de $y$ dans $x = \frac{8 y}{15} + \frac{12}{5}$ par $3$ .

$x = \frac{8 (3)}{15} + \frac{12}{5}$

$y = 3$

Étape 4.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Simplifiez $\frac{8 (3)}{15} + \frac{12}{5}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1.1

Multipliez $8$ par $3$ .

$x = \frac{24}{15} + \frac{12}{5}$

$y = 3$

Étape 4.2.1.2

Annulez le facteur commun à $24$ et $15$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $24$ .

$x = \frac{3 (8)}{15} + \frac{12}{5}$

$y = 3$

Étape 4.2.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $15$ .

$x = \frac{3 \cdot 8}{3 \cdot 5} + \frac{12}{5}$

$y = 3$

Étape 4.2.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{3 \cdot 8}{3 \cdot 5} + \frac{12}{5}$

$y = 3$

Étape 4.2.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{8}{5} + \frac{12}{5}$

$y = 3$

$x = \frac{8}{5} + \frac{12}{5}$

$y = 3$

$x = \frac{8}{5} + \frac{12}{5}$

$y = 3$

Étape 4.2.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{8 + 12}{5}$

$y = 3$

Étape 4.2.1.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.2.1.4.1

Additionnez $8$ et $12$ .

$x = \frac{20}{5}$

$y = 3$

Étape 4.2.1.4.2

Divisez $20$ par $5$ .

$x = 4$

$y = 3$

$x = 4$

$y = 3$

$x = 4$

$y = 3$

$x = 4$

$y = 3$

$x = 4$

$y = 3$

Étape 5

La solution du système est l’ensemble complet de paires ordonnées qui sont des solutions valides.

$(4, 3)$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme du point :

$(4, 3)$

Forme de l’équation :

$x = 4, y = 3$

Étape 7