Ensembles finis Exemples

$(- 17, 15)$ , $(0, 22)$ , $(17, 15)$

Étape 1

Utilisez la forme normalisée de l’équation quadratique $y = a x^{2} + b x + c$ comme point de départ pour déterminer l’équation avec les trois points.

$y = a x^{2} + b x + c$

Étape 2

Créez un système d’équations en remplaçant les valeurs $x$ et $y$ de chaque point dans la formule standard d’une équation quadratique pour créer le système à trois équations.

$15 = a {(- 17)}^{2} + b (- 17) + c, 22 = a {(0)}^{2} + b (0) + c, 15 = a {(17)}^{2} + b (17) + c$

Étape 3

Résolvez le système d’équations pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Résolvez $c$ dans $22 = a \cdot 0^{2} + c$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1

Réécrivez l’équation comme $a \cdot 0^{2} + c = 22$ .

$a \cdot 0^{2} + c = 22$

$15 = a {(- 17)}^{2} + b (- 17) + c$

$15 = a \cdot 17^{2} + b (17) + c$

Étape 3.1.2

Simplifiez $a \cdot 0^{2} + c$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$a \cdot 0 + c = 22$

$15 = a {(- 17)}^{2} + b (- 17) + c$

$15 = a \cdot 17^{2} + b (17) + c$

Étape 3.1.2.1.2

Multipliez $a$ par $0$ .

$0 + c = 22$

$15 = a {(- 17)}^{2} + b (- 17) + c$

$15 = a \cdot 17^{2} + b (17) + c$

$0 + c = 22$

$15 = a {(- 17)}^{2} + b (- 17) + c$

$15 = a \cdot 17^{2} + b (17) + c$

Étape 3.1.2.2

Additionnez $0$ et $c$ .

$c = 22$

$15 = a {(- 17)}^{2} + b (- 17) + c$

$15 = a \cdot 17^{2} + b (17) + c$

$c = 22$

$15 = a {(- 17)}^{2} + b (- 17) + c$

$15 = a \cdot 17^{2} + b (17) + c$

$c = 22$

$15 = a {(- 17)}^{2} + b (- 17) + c$

$15 = a \cdot 17^{2} + b (17) + c$

Étape 3.2

Remplacez toutes les occurrences de $c$ par $22$ dans chaque équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Remplacez toutes les occurrences de $c$ dans $15 = a {(- 17)}^{2} + b (- 17) + c$ par $22$ .

$15 = a {(- 17)}^{2} + b (- 17) + 22$

$c = 22$

$15 = a \cdot 17^{2} + b (17) + c$

Étape 3.2.2

Simplifiez $15 = a {(- 17)}^{2} + b (- 17) + 22$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1.1

Supprimez les parenthèses.

$15 = a {(- 17)}^{2} + b (- 17) + 22$

$c = 22$

$15 = a \cdot 17^{2} + b (17) + c$

$15 = a {(- 17)}^{2} + b (- 17) + 22$

$c = 22$

$15 = a \cdot 17^{2} + b (17) + c$

Étape 3.2.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.2.1.1

Élevez $- 17$ à la puissance $2$ .

$15 = a \cdot 289 + b (- 17) + 22$

$c = 22$

$15 = a \cdot 17^{2} + b (17) + c$

Étape 3.2.2.2.1.2

Déplacez $289$ à gauche de $a$ .

$15 = 289 \cdot a + b (- 17) + 22$

$c = 22$

$15 = a \cdot 17^{2} + b (17) + c$

Étape 3.2.2.2.1.3

Déplacez $- 17$ à gauche de $b$ .

$15 = 289 a - 17 b + 22$

$c = 22$

$15 = a \cdot 17^{2} + b (17) + c$

$15 = 289 a - 17 b + 22$

$c = 22$

$15 = a \cdot 17^{2} + b (17) + c$

$15 = 289 a - 17 b + 22$

$c = 22$

$15 = a \cdot 17^{2} + b (17) + c$

$15 = 289 a - 17 b + 22$

$c = 22$

$15 = a \cdot 17^{2} + b (17) + c$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $c$ dans $15 = a \cdot 17^{2} + b (17) + c$ par $22$ .

$15 = a \cdot 17^{2} + b (17) + 22$

$15 = 289 a - 17 b + 22$

$c = 22$

Étape 3.2.4

Simplifiez $15 = a \cdot 17^{2} + b (17) + 22$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.4.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.4.1.1

Supprimez les parenthèses.

$15 = a \cdot 17^{2} + b (17) + 22$

$15 = 289 a - 17 b + 22$

$c = 22$

$15 = a \cdot 17^{2} + b (17) + 22$

$15 = 289 a - 17 b + 22$

$c = 22$

Étape 3.2.4.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.4.2.1.1

Élevez $17$ à la puissance $2$ .

$15 = a \cdot 289 + b (17) + 22$

$15 = 289 a - 17 b + 22$

$c = 22$

Étape 3.2.4.2.1.2

Déplacez $289$ à gauche de $a$ .

$15 = 289 \cdot a + b (17) + 22$

$15 = 289 a - 17 b + 22$

$c = 22$

Étape 3.2.4.2.1.3

Déplacez $17$ à gauche de $b$ .

$15 = 289 a + 17 b + 22$

$15 = 289 a - 17 b + 22$

$c = 22$

$15 = 289 a + 17 b + 22$

$15 = 289 a - 17 b + 22$

$c = 22$

$15 = 289 a + 17 b + 22$

$15 = 289 a - 17 b + 22$

$c = 22$

$15 = 289 a + 17 b + 22$

$15 = 289 a - 17 b + 22$

$c = 22$

$15 = 289 a + 17 b + 22$

$15 = 289 a - 17 b + 22$

$c = 22$

Étape 3.3

Résolvez $a$ dans $15 = 289 a + 17 b + 22$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Réécrivez l’équation comme $289 a + 17 b + 22 = 15$ .

$289 a + 17 b + 22 = 15$

$15 = 289 a - 17 b + 22$

$c = 22$

Étape 3.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $a$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1

Soustrayez $17 b$ des deux côtés de l’équation.

$289 a + 22 = 15 - 17 b$

$15 = 289 a - 17 b + 22$

$c = 22$

Étape 3.3.2.2

Soustrayez $22$ des deux côtés de l’équation.

$289 a = 15 - 17 b - 22$

$15 = 289 a - 17 b + 22$

$c = 22$

Étape 3.3.2.3

Soustrayez $22$ de $15$ .

$289 a = - 17 b - 7$

$15 = 289 a - 17 b + 22$

$c = 22$

$289 a = - 17 b - 7$

$15 = 289 a - 17 b + 22$

$c = 22$

Étape 3.3.3

Divisez chaque terme dans $289 a = - 17 b - 7$ par $289$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.3.1

Divisez chaque terme dans $289 a = - 17 b - 7$ par $289$ .

$\frac{289 a}{289} = \frac{- 17 b}{289} + \frac{- 7}{289}$

$15 = 289 a - 17 b + 22$

$c = 22$

Étape 3.3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $289$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{289 a}{289} = \frac{- 17 b}{289} + \frac{- 7}{289}$

$15 = 289 a - 17 b + 22$

$c = 22$

Étape 3.3.3.2.1.2

Divisez $a$ par $1$ .

$a = \frac{- 17 b}{289} + \frac{- 7}{289}$

$15 = 289 a - 17 b + 22$

$c = 22$

$a = \frac{- 17 b}{289} + \frac{- 7}{289}$

$15 = 289 a - 17 b + 22$

$c = 22$

$a = \frac{- 17 b}{289} + \frac{- 7}{289}$

$15 = 289 a - 17 b + 22$

$c = 22$

Étape 3.3.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.3.3.1.1

Annulez le facteur commun à $- 17$ et $289$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.3.3.1.1.1

Factorisez $17$ à partir de $- 17 b$ .

$a = \frac{17 (- b)}{289} + \frac{- 7}{289}$

$15 = 289 a - 17 b + 22$

$c = 22$

Étape 3.3.3.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.3.3.1.1.2.1

Factorisez $17$ à partir de $289$ .

$a = \frac{17 (- b)}{17 (17)} + \frac{- 7}{289}$

$15 = 289 a - 17 b + 22$

$c = 22$

Étape 3.3.3.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$a = \frac{17 (- b)}{17 \cdot 17} + \frac{- 7}{289}$

$15 = 289 a - 17 b + 22$

$c = 22$

Étape 3.3.3.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$a = \frac{- b}{17} + \frac{- 7}{289}$

$15 = 289 a - 17 b + 22$

$c = 22$

$a = \frac{- b}{17} + \frac{- 7}{289}$

$15 = 289 a - 17 b + 22$

$c = 22$

$a = \frac{- b}{17} + \frac{- 7}{289}$

$15 = 289 a - 17 b + 22$

$c = 22$

Étape 3.3.3.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$a = - \frac{b}{17} + \frac{- 7}{289}$

$15 = 289 a - 17 b + 22$

$c = 22$

Étape 3.3.3.3.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$a = - \frac{b}{17} - \frac{7}{289}$

$15 = 289 a - 17 b + 22$

$c = 22$

$a = - \frac{b}{17} - \frac{7}{289}$

$15 = 289 a - 17 b + 22$

$c = 22$

$a = - \frac{b}{17} - \frac{7}{289}$

$15 = 289 a - 17 b + 22$

$c = 22$

$a = - \frac{b}{17} - \frac{7}{289}$

$15 = 289 a - 17 b + 22$

$c = 22$

$a = - \frac{b}{17} - \frac{7}{289}$

$15 = 289 a - 17 b + 22$

$c = 22$

Étape 3.4

Remplacez toutes les occurrences de $a$ par $- \frac{b}{17} - \frac{7}{289}$ dans chaque équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1

Remplacez toutes les occurrences de $a$ dans $15 = 289 a - 17 b + 22$ par $- \frac{b}{17} - \frac{7}{289}$ .

$15 = 289 (- \frac{b}{17} - \frac{7}{289}) - 17 b + 22$

$a = - \frac{b}{17} - \frac{7}{289}$

$c = 22$

Étape 3.4.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.1

Simplifiez $289 (- \frac{b}{17} - \frac{7}{289}) - 17 b + 22$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$15 = 289 (- \frac{b}{17}) + 289 (- \frac{7}{289}) - 17 b + 22$

$a = - \frac{b}{17} - \frac{7}{289}$

$c = 22$

Étape 3.4.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $17$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.1.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{b}{17}$ dans le numérateur.

$15 = 289 (\frac{- b}{17}) + 289 (- \frac{7}{289}) - 17 b + 22$

$a = - \frac{b}{17} - \frac{7}{289}$

$c = 22$

Étape 3.4.2.1.1.2.2

Factorisez $17$ à partir de $289$ .

$15 = 17 (17) (\frac{- b}{17}) + 289 (- \frac{7}{289}) - 17 b + 22$

$a = - \frac{b}{17} - \frac{7}{289}$

$c = 22$

Étape 3.4.2.1.1.2.3

Annulez le facteur commun.

$15 = 17 \cdot (17 (\frac{- b}{17})) + 289 (- \frac{7}{289}) - 17 b + 22$

$a = - \frac{b}{17} - \frac{7}{289}$

$c = 22$

Étape 3.4.2.1.1.2.4

Réécrivez l’expression.

$15 = 17 (- b) + 289 (- \frac{7}{289}) - 17 b + 22$

$a = - \frac{b}{17} - \frac{7}{289}$

$c = 22$

$15 = 17 (- b) + 289 (- \frac{7}{289}) - 17 b + 22$

$a = - \frac{b}{17} - \frac{7}{289}$

$c = 22$

Étape 3.4.2.1.1.3

Multipliez $- 1$ par $17$ .

$15 = - 17 b + 289 (- \frac{7}{289}) - 17 b + 22$

$a = - \frac{b}{17} - \frac{7}{289}$

$c = 22$

Étape 3.4.2.1.1.4

Annulez le facteur commun de $289$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.1.1.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{7}{289}$ dans le numérateur.

$15 = - 17 b + 289 (\frac{- 7}{289}) - 17 b + 22$

$a = - \frac{b}{17} - \frac{7}{289}$

$c = 22$

Étape 3.4.2.1.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$15 = - 17 b + 289 (\frac{- 7}{289}) - 17 b + 22$

$a = - \frac{b}{17} - \frac{7}{289}$

$c = 22$

Étape 3.4.2.1.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$15 = - 17 b - 7 - 17 b + 22$

$a = - \frac{b}{17} - \frac{7}{289}$

$c = 22$

$15 = - 17 b - 7 - 17 b + 22$

$a = - \frac{b}{17} - \frac{7}{289}$

$c = 22$

$15 = - 17 b - 7 - 17 b + 22$

$a = - \frac{b}{17} - \frac{7}{289}$

$c = 22$

Étape 3.4.2.1.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.1.2.1

Soustrayez $17 b$ de $- 17 b$ .

$15 = - 34 b - 7 + 22$

$a = - \frac{b}{17} - \frac{7}{289}$

$c = 22$

Étape 3.4.2.1.2.2

Additionnez $- 7$ et $22$ .

$15 = - 34 b + 15$

$a = - \frac{b}{17} - \frac{7}{289}$

$c = 22$

$15 = - 34 b + 15$

$a = - \frac{b}{17} - \frac{7}{289}$

$c = 22$

$15 = - 34 b + 15$

$a = - \frac{b}{17} - \frac{7}{289}$

$c = 22$

$15 = - 34 b + 15$

$a = - \frac{b}{17} - \frac{7}{289}$

$c = 22$

$15 = - 34 b + 15$

$a = - \frac{b}{17} - \frac{7}{289}$

$c = 22$

Étape 3.5

Résolvez $b$ dans $15 = - 34 b + 15$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.1

Réécrivez l’équation comme $- 34 b + 15 = 15$ .

$- 34 b + 15 = 15$

$a = - \frac{b}{17} - \frac{7}{289}$

$c = 22$

Étape 3.5.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $b$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.2.1

Soustrayez $15$ des deux côtés de l’équation.

$- 34 b = 15 - 15$

$a = - \frac{b}{17} - \frac{7}{289}$

$c = 22$

Étape 3.5.2.2

Soustrayez $15$ de $15$ .

$- 34 b = 0$

$a = - \frac{b}{17} - \frac{7}{289}$

$c = 22$

$- 34 b = 0$

$a = - \frac{b}{17} - \frac{7}{289}$

$c = 22$

Étape 3.5.3

Divisez chaque terme dans $- 34 b = 0$ par $- 34$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.3.1

Divisez chaque terme dans $- 34 b = 0$ par $- 34$ .

$\frac{- 34 b}{- 34} = \frac{0}{- 34}$

$a = - \frac{b}{17} - \frac{7}{289}$

$c = 22$

Étape 3.5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- 34$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 34 b}{- 34} = \frac{0}{- 34}$

$a = - \frac{b}{17} - \frac{7}{289}$

$c = 22$

Étape 3.5.3.2.1.2

Divisez $b$ par $1$ .

$b = \frac{0}{- 34}$

$a = - \frac{b}{17} - \frac{7}{289}$

$c = 22$

$b = \frac{0}{- 34}$

$a = - \frac{b}{17} - \frac{7}{289}$

$c = 22$

$b = \frac{0}{- 34}$

$a = - \frac{b}{17} - \frac{7}{289}$

$c = 22$

Étape 3.5.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.3.3.1

Divisez $0$ par $- 34$ .

$b = 0$

$a = - \frac{b}{17} - \frac{7}{289}$

$c = 22$

$b = 0$

$a = - \frac{b}{17} - \frac{7}{289}$

$c = 22$

$b = 0$

$a = - \frac{b}{17} - \frac{7}{289}$

$c = 22$

$b = 0$

$a = - \frac{b}{17} - \frac{7}{289}$

$c = 22$

Étape 3.6

Remplacez toutes les occurrences de $b$ par $0$ dans chaque équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.1

Remplacez toutes les occurrences de $b$ dans $a = - \frac{b}{17} - \frac{7}{289}$ par $0$ .

$a = - \frac{0}{17} - \frac{7}{289}$

$b = 0$

$c = 22$

Étape 3.6.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.2.1

Simplifiez $- \frac{0}{17} - \frac{7}{289}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.2.1.1.1

Divisez $0$ par $17$ .

$a = - 0 - \frac{7}{289}$

$b = 0$

$c = 22$

Étape 3.6.2.1.1.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$a = 0 - \frac{7}{289}$

$b = 0$

$c = 22$

$a = 0 - \frac{7}{289}$

$b = 0$

$c = 22$

Étape 3.6.2.1.2

Soustrayez $\frac{7}{289}$ de $0$ .

$a = - \frac{7}{289}$

$b = 0$

$c = 22$

$a = - \frac{7}{289}$

$b = 0$

$c = 22$

$a = - \frac{7}{289}$

$b = 0$

$c = 22$

$a = - \frac{7}{289}$

$b = 0$

$c = 22$

Étape 3.7

Indiquez toutes les solutions.

$a = - \frac{7}{289}, b = 0, c = 22$

Étape 4

Remplacez les valeurs réelles de $a$ , $b$ et $c$ dans la formule pour une équation quadratique afin de déterminer l’équation résultante.

$y = - \frac{7 x^{2}}{289} + 22$

Étape 5