Ensembles finis Exemples

$[\begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 1 & 3 \end{array}] [\begin{array}{c} 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{array}]$

Étape 1

Multipliez $[\begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 1 & 3 \end{array}] [\begin{array}{c} 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{array}]$ .

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Étape 1.1

Two matrices can be multiplied if and only if the number of columns in the first matrix is equal to the number of rows in the second matrix. In this case, the first matrix is $2 \times 2$ and the second matrix is $2 \times 2$ .

Étape 1.2

Multipliez chaque ligne dans la première matrice par chaque colonne dans la deuxième matrice.

$[\begin{array}{c} 2 \cdot 3 + 1 \cdot 1 & 2 \cdot 4 + 1 \cdot 2 \\ - 1 \cdot 3 + 3 \cdot 1 & - 1 \cdot 4 + 3 \cdot 2 \end{array}]$

Étape 1.3

Simplifiez chaque élément de la matrice en multipliant toutes les expressions.

$[\begin{array}{c} 7 & 10 \\ 0 & 2 \end{array}]$

Étape 2

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Étape 3

Find the determinant.

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Étape 3.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$7 \cdot 2 + 0 \cdot 10$

Étape 3.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Multipliez $7$ par $2$ .

$14 + 0 \cdot 10$

Étape 3.2.1.2

Multipliez $0$ par $10$ .

$14 + 0$

Étape 3.2.2

Additionnez $14$ et $0$ .

$14$

Étape 4

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Étape 5

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{14} [\begin{array}{c} 2 & - 10 \\ 0 & 7 \end{array}]$

Étape 6

Multipliez $\frac{1}{14}$ par chaque élément de la matrice.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{14} \cdot 2 & \frac{1}{14} \cdot - 10 \\ \frac{1}{14} \cdot 0 & \frac{1}{14} \cdot 7 \end{array}]$

Étape 7

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 7.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.1.1

Factorisez $2$ à partir de $14$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2 (7)} \cdot 2 & \frac{1}{14} \cdot - 10 \\ \frac{1}{14} \cdot 0 & \frac{1}{14} \cdot 7 \end{array}]$

Étape 7.1.2

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2 \cdot 7} \cdot 2 & \frac{1}{14} \cdot - 10 \\ \frac{1}{14} \cdot 0 & \frac{1}{14} \cdot 7 \end{array}]$

Étape 7.1.3

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{7} & \frac{1}{14} \cdot - 10 \\ \frac{1}{14} \cdot 0 & \frac{1}{14} \cdot 7 \end{array}]$

Étape 7.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.2.1

Factorisez $2$ à partir de $14$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{7} & \frac{1}{2 (7)} \cdot - 10 \\ \frac{1}{14} \cdot 0 & \frac{1}{14} \cdot 7 \end{array}]$

Étape 7.2.2

Factorisez $2$ à partir de $- 10$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{7} & \frac{1}{2 \cdot 7} \cdot (2 \cdot - 5) \\ \frac{1}{14} \cdot 0 & \frac{1}{14} \cdot 7 \end{array}]$

Étape 7.2.3

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{7} & \frac{1}{2 \cdot 7} \cdot (2 \cdot - 5) \\ \frac{1}{14} \cdot 0 & \frac{1}{14} \cdot 7 \end{array}]$

Étape 7.2.4

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{7} & \frac{1}{7} \cdot - 5 \\ \frac{1}{14} \cdot 0 & \frac{1}{14} \cdot 7 \end{array}]$

Étape 7.3

Associez $\frac{1}{7}$ et $- 5$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{7} & \frac{- 5}{7} \\ \frac{1}{14} \cdot 0 & \frac{1}{14} \cdot 7 \end{array}]$

Étape 7.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{7} & - \frac{5}{7} \\ \frac{1}{14} \cdot 0 & \frac{1}{14} \cdot 7 \end{array}]$

Étape 7.5

Multipliez $\frac{1}{14}$ par $0$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{7} & - \frac{5}{7} \\ 0 & \frac{1}{14} \cdot 7 \end{array}]$

Étape 7.6

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 7.6.1

Factorisez $7$ à partir de $14$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{7} & - \frac{5}{7} \\ 0 & \frac{1}{7 (2)} \cdot 7 \end{array}]$

Étape 7.6.2

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{7} & - \frac{5}{7} \\ 0 & \frac{1}{7 \cdot 2} \cdot 7 \end{array}]$

Étape 7.6.3

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{7} & - \frac{5}{7} \\ 0 & \frac{1}{2} \end{array}]$