Ensembles finis Exemples

(- 10, 8)

$(- 10, 8)$ ,

7 x - 5 y = 2

$7 x - 5 y = 2$

Étape 1

Résolvez l’équation pour

y

$y$ dans les termes de

x

$x$ .

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Étape 1.1

Soustrayez

7 x

$7 x$ des deux côtés de l’équation.

- 5 y = 2 - 7 x

$- 5 y = 2 - 7 x$

Étape 1.2

Divisez chaque terme dans

- 5 y = 2 - 7 x

$- 5 y = 2 - 7 x$ par

- 5

$- 5$ et simplifiez.

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Étape 1.2.1

Divisez chaque terme dans

- 5 y = 2 - 7 x

$- 5 y = 2 - 7 x$ par

- 5

$- 5$ .

\frac{- 5 y}{- 5} = \frac{2}{- 5} + \frac{- 7 x}{- 5}

$\frac{- 5 y}{- 5} = \frac{2}{- 5} + \frac{- 7 x}{- 5}$

Étape 1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.2.1

Annulez le facteur commun de

- 5

$- 5$ .

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Étape 1.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 5 y}{- 5} = \frac{2}{- 5} + \frac{- 7 x}{- 5}$

Étape 1.2.2.1.2

Divisez

$y$ par

$1$ .

$y = \frac{2}{- 5} + \frac{- 7 x}{- 5}$

Étape 1.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.3.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{2}{5} + \frac{- 7 x}{- 5}$

Étape 1.2.3.1.2

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$y = - \frac{2}{5} + \frac{7 x}{5}$

Étape 2

Le théorème de la valeur intermédiaire indique que, si

$f$ est une fonction continue à valeur réelle sur l’intervalle

$[a, b]$ et si

$u$ est un nombre compris entre

$f (a)$ et

$f (b)$ , alors il y a un

$c$ contenu dans l’intervalle

$[a, b]$ de sorte que

$f (c) = u$ .

$u = f (c) = 0$

Étape 3

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 4

Calculez

$f (a) = f (- 10) = - \frac{2}{5} + \frac{7 (- 10)}{5}$ .

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Étape 4.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- 10) = \frac{- 2 + 7 (- 10)}{5}$

Étape 4.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.2.1

Multipliez

$7$ par

$- 10$ .

$f (- 10) = \frac{- 2 - 70}{5}$

Étape 4.2.2

Soustrayez

$70$ de

$- 2$ .

$f (- 10) = \frac{- 72}{5}$

Étape 4.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- 10) = - \frac{72}{5}$

Étape 5

Calculez

$f (b) = f (8) = - \frac{2}{5} + \frac{7 (8)}{5}$ .

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Étape 5.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (8) = \frac{- 2 + 7 (8)}{5}$

Étape 5.2

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Multipliez

$7$ par

$8$ .

$f (8) = \frac{- 2 + 56}{5}$

Étape 5.2.2

Additionnez

$- 2$ et

$56$ .

$f (8) = \frac{54}{5}$

Étape 6

Comme

$0$ est sur l’intervalle

$[- \frac{72}{5}, \frac{54}{5}]$ , résolvez l’équation pour

$x$ à la racine en définissant

$y$ sur

$0$ dans

$y = - \frac{2}{5} + \frac{7 x}{5}$ .

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Étape 6.1

Réécrivez l’équation comme

$- \frac{2}{5} + \frac{7 x}{5} = 0$ .

$- \frac{2}{5} + \frac{7 x}{5} = 0$

Étape 6.2

Ajoutez

$\frac{2}{5}$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{7 x}{5} = \frac{2}{5}$

Étape 6.3

Comme l’expression de chaque côté de l’équation a le même dénominateur, les numérateurs doivent être égaux.

$7 x = 2$

Étape 6.4

Divisez chaque terme dans

$7 x = 2$ par

$7$ et simplifiez.

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Étape 6.4.1

Divisez chaque terme dans

$7 x = 2$ par

$7$ .

$\frac{7 x}{7} = \frac{2}{7}$

Étape 6.4.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.2.1

Annulez le facteur commun de

$7$ .

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Étape 6.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{7 x}{7} = \frac{2}{7}$

Étape 6.4.2.1.2

Divisez

$x$ par

$1$ .

$x = \frac{2}{7}$

Étape 7

Le théorème de la valeur intermédiaire indique qu’il y a une racine

$f (c) = 0$ sur l’intervalle

$[- \frac{72}{5}, \frac{54}{5}]$ car

$f$ est une fonction continue sur

$[- 10, 8]$ .

Les racines sur l’intervalle

$[- 10, 8]$ se situent sur

$x = \frac{2}{7}$ .

Étape 8