Ensembles finis Exemples

Prouver qu'une racine est dans l'intervalle (-10,8) , 7x-5y=2
(-10,8)(10,8) , 7x-5y=27x5y=2
Étape 1
Résolvez l’équation pour yy dans les termes de xx.
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Étape 1.1
Soustrayez 7x7x des deux côtés de l’équation.
-5y=2-7x5y=27x
Étape 1.2
Divisez chaque terme dans -5y=2-7x5y=27x par -55 et simplifiez.
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Étape 1.2.1
Divisez chaque terme dans -5y=2-7x5y=27x par -55.
-5y-5=2-5+-7x-55y5=25+7x5
Étape 1.2.2
Simplifiez le côté gauche.
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Étape 1.2.2.1
Annulez le facteur commun de -55.
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Étape 1.2.2.1.1
Annulez le facteur commun.
-5y-5=2-5+-7x-55y5=25+7x5
Étape 1.2.2.1.2
Divisez yy par 11.
y=2-5+-7x-5y=25+7x5
y=2-5+-7x-5y=25+7x5
y=2-5+-7x-5y=25+7x5
Étape 1.2.3
Simplifiez le côté droit.
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Étape 1.2.3.1
Simplifiez chaque terme.
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Étape 1.2.3.1.1
Placez le signe moins devant la fraction.
y=-25+-7x-5y=25+7x5
Étape 1.2.3.1.2
La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.
y=-25+7x5y=25+7x5
y=-25+7x5y=25+7x5
y=-25+7x5y=25+7x5
y=-25+7x5y=25+7x5
y=-25+7x5y=25+7x5
Étape 2
Le théorème de la valeur intermédiaire indique que, si ff est une fonction continue à valeur réelle sur l’intervalle [a,b][a,b] et si uu est un nombre compris entre f(a)f(a) et f(b)f(b), alors il y a un cc contenu dans l’intervalle [a,b][a,b] de sorte que f(c)=uf(c)=u.
u=f(c)=0u=f(c)=0
Étape 3
Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.
Notation d’intervalle :
(-,)(,)
Notation de constructeur d’ensemble :
{x|x}
Étape 4
Calculez f(a)=f(-10)=-25+7(-10)5.
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Étape 4.1
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
f(-10)=-2+7(-10)5
Étape 4.2
Simplifiez l’expression.
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Étape 4.2.1
Multipliez 7 par -10.
f(-10)=-2-705
Étape 4.2.2
Soustrayez 70 de -2.
f(-10)=-725
Étape 4.2.3
Placez le signe moins devant la fraction.
f(-10)=-725
f(-10)=-725
f(-10)=-725
Étape 5
Calculez f(b)=f(8)=-25+7(8)5.
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Étape 5.1
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
f(8)=-2+7(8)5
Étape 5.2
Simplifiez l’expression.
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Étape 5.2.1
Multipliez 7 par 8.
f(8)=-2+565
Étape 5.2.2
Additionnez -2 et 56.
f(8)=545
f(8)=545
f(8)=545
Étape 6
Comme 0 est sur l’intervalle [-725,545], résolvez l’équation pour x à la racine en définissant y sur 0 dans y=-25+7x5.
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Étape 6.1
Réécrivez l’équation comme -25+7x5=0.
-25+7x5=0
Étape 6.2
Ajoutez 25 aux deux côtés de l’équation.
7x5=25
Étape 6.3
Comme l’expression de chaque côté de l’équation a le même dénominateur, les numérateurs doivent être égaux.
7x=2
Étape 6.4
Divisez chaque terme dans 7x=2 par 7 et simplifiez.
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Étape 6.4.1
Divisez chaque terme dans 7x=2 par 7.
7x7=27
Étape 6.4.2
Simplifiez le côté gauche.
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Étape 6.4.2.1
Annulez le facteur commun de 7.
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Étape 6.4.2.1.1
Annulez le facteur commun.
7x7=27
Étape 6.4.2.1.2
Divisez x par 1.
x=27
x=27
x=27
x=27
x=27
Étape 7
Le théorème de la valeur intermédiaire indique qu’il y a une racine f(c)=0 sur l’intervalle [-725,545] car f est une fonction continue sur [-10,8].
Les racines sur l’intervalle [-10,8] se situent sur x=27.
Étape 8
 [x2  12  π  xdx ]