Ensembles finis Exemples

$n = 14$ , $x = 5$ , $p = 0.2$

Étape 1

Utilisez la formule de la probabilité d’une distribution binomiale pour résoudre le problème.

$p (x) = {}_{14}C_{5} \cdot p^{x} \cdot q^{n - x}$

Étape 2

Déterminez la valeur de ${}_{14}C_{5}$ .

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Étape 2.1

Déterminez le nombre de possibilités de combinaisons dans le désordre lorsque $r$ éléments sont sélectionnés parmi $n$ éléments disponibles.

${}_{14}C_{5} = {}_{n}C_{r} = \frac{n!}{(r)! (n - r)!}$

Étape 2.2

Renseignez les valeurs connues.

$\frac{(14)!}{(5)! (14 - 5)!}$

Étape 2.3

Simplifiez

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Étape 2.3.1

Soustrayez $5$ de $14$ .

$\frac{(14)!}{(5)! (9)!}$

Étape 2.3.2

Réécrivez $(14)!$ comme $14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9!$ .

$\frac{14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9!}{(5)! (9)!}$

Étape 2.3.3

Annulez le facteur commun de $9!$ .

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Étape 2.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9!}{(5)! (9)!}$

Étape 2.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10}{(5)!}$

Étape 2.3.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.4.1

Multipliez $14$ par $13$ .

$\frac{182 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10}{(5)!}$

Étape 2.3.4.2

Multipliez $182$ par $12$ .

$\frac{2184 \cdot 11 \cdot 10}{(5)!}$

Étape 2.3.4.3

Multipliez $2184$ par $11$ .

$\frac{24024 \cdot 10}{(5)!}$

Étape 2.3.4.4

Multipliez $24024$ par $10$ .

$\frac{240240}{(5)!}$

Étape 2.3.5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.3.5.1

Développez $(5)!$ en $5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$ .

$\frac{240240}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Étape 2.3.5.2

Multipliez $5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$ .

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Étape 2.3.5.2.1

Multipliez $5$ par $4$ .

$\frac{240240}{20 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Étape 2.3.5.2.2

Multipliez $20$ par $3$ .

$\frac{240240}{60 \cdot 2 \cdot 1}$

Étape 2.3.5.2.3

Multipliez $60$ par $2$ .

$\frac{240240}{120 \cdot 1}$

Étape 2.3.5.2.4

Multipliez $120$ par $1$ .

$\frac{240240}{120}$

Étape 2.3.6

Divisez $240240$ par $120$ .

$2002$

Étape 3

Renseignez les valeurs connues dans l’équation.

$2002 \cdot {(0.2)}^{5} \cdot {(1 - 0.2)}^{14 - 5}$

Étape 4

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.1

Élevez $0.2$ à la puissance $5$ .

$2002 \cdot 0.00032 \cdot {(1 - 0.2)}^{14 - 5}$

Étape 4.2

Multipliez $2002$ par $0.00032$ .

$0.64064 \cdot {(1 - 0.2)}^{14 - 5}$

Étape 4.3

Soustrayez $0.2$ de $1$ .

$0.64064 \cdot {0.8}^{14 - 5}$

Étape 4.4

Soustrayez $5$ de $14$ .

$0.64064 \cdot {0.8}^{9}$

Étape 4.5

Élevez $0.8$ à la puissance $9$ .

$0.64064 \cdot 0.13421772$

Étape 4.6

Multipliez $0.64064$ par $0.13421772$ .

$0.08598524$