Ensembles finis Exemples

${(\frac{2}{3})}^{3 x - 1} > 1$

Étape 1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln ({(\frac{2}{3})}^{3 x - 1}) > \ln (1)$

Étape 2

Développez le côté gauche.

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Étape 2.1

Développez $\ln ({(\frac{2}{3})}^{3 x - 1})$ en déplaçant $3 x - 1$ hors du logarithme.

$(3 x - 1) \ln (\frac{2}{3}) > \ln (1)$

Étape 2.2

Réécrivez $\ln (\frac{2}{3})$ comme $\ln (2) - \ln (3)$ .

$(3 x - 1) (\ln (2) - \ln (3)) > \ln (1)$

Étape 3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1

Simplifiez $(3 x - 1) (\ln (2) - \ln (3))$ .

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Étape 3.1.1

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$(3 x - 1) \ln (\frac{2}{3}) > \ln (1)$

Étape 3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$3 x \ln (\frac{2}{3}) - 1 \ln (\frac{2}{3}) > \ln (1)$

Étape 3.1.3

Réécrivez $- 1 \ln (\frac{2}{3})$ comme $- \ln (\frac{2}{3})$ .

$3 x \ln (\frac{2}{3}) - \ln (\frac{2}{3}) > \ln (1)$

Étape 4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.1

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$3 x \ln (\frac{2}{3}) - \ln (\frac{2}{3}) > 0$

Étape 5

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$3 x \ln (\frac{2}{3}) - \ln (\frac{2}{3}) = 0$

Étape 6

Ajoutez $\ln (\frac{2}{3})$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x \ln (\frac{2}{3}) = \ln (\frac{2}{3})$

Étape 7

Divisez chaque terme dans $3 x \ln (\frac{2}{3}) = \ln (\frac{2}{3})$ par $3 \ln (\frac{2}{3})$ et simplifiez.

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Étape 7.1

Divisez chaque terme dans $3 x \ln (\frac{2}{3}) = \ln (\frac{2}{3})$ par $3 \ln (\frac{2}{3})$ .

$\frac{3 x \ln (\frac{2}{3})}{3 \ln (\frac{2}{3})} = \frac{\ln (\frac{2}{3})}{3 \ln (\frac{2}{3})}$

Étape 7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x \ln (\frac{2}{3})}{3 \ln (\frac{2}{3})} = \frac{\ln (\frac{2}{3})}{3 \ln (\frac{2}{3})}$

Étape 7.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x \ln (\frac{2}{3})}{\ln (\frac{2}{3})} = \frac{\ln (\frac{2}{3})}{3 \ln (\frac{2}{3})}$

Étape 7.2.2

Annulez le facteur commun de $\ln (\frac{2}{3})$ .

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Étape 7.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \ln (\frac{2}{3})}{\ln (\frac{2}{3})} = \frac{\ln (\frac{2}{3})}{3 \ln (\frac{2}{3})}$

Étape 7.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\ln (\frac{2}{3})}{3 \ln (\frac{2}{3})}$

Étape 7.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.3.1

Annulez le facteur commun de $\ln (\frac{2}{3})$ .

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Étape 7.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{\ln (\frac{2}{3})}{3 \ln (\frac{2}{3})}$

Étape 7.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{1}{3}$

Étape 8

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x < \frac{1}{3}$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$x < \frac{1}{3}$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \frac{1}{3})$

Étape 10