Ensembles finis Exemples

${(2 + 5 i)}^{2} + (3 + 4 i) + \frac{i}{\cos (30) + i \sin (30)}$

Étape 1

Supprimez les parenthèses.

${(2 + 5 i)}^{2} + 3 + 4 i + \frac{i}{\cos (30) + i \sin (30)}$

Étape 2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1

Réécrivez ${(2 + 5 i)}^{2}$ comme $(2 + 5 i) (2 + 5 i)$ .

$(2 + 5 i) (2 + 5 i) + 3 + 4 i + \frac{i}{\cos (30) + i \sin (30)}$

Étape 2.2

Développez $(2 + 5 i) (2 + 5 i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 (2 + 5 i) + 5 i (2 + 5 i) + 3 + 4 i + \frac{i}{\cos (30) + i \sin (30)}$

Étape 2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 \cdot 2 + 2 (5 i) + 5 i (2 + 5 i) + 3 + 4 i + \frac{i}{\cos (30) + i \sin (30)}$

Étape 2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 \cdot 2 + 2 (5 i) + 5 i \cdot 2 + 5 i (5 i) + 3 + 4 i + \frac{i}{\cos (30) + i \sin (30)}$

Étape 2.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 + 2 (5 i) + 5 i \cdot 2 + 5 i (5 i) + 3 + 4 i + \frac{i}{\cos (30) + i \sin (30)}$

Étape 2.3.1.2

Multipliez $5$ par $2$ .

$4 + 10 i + 5 i \cdot 2 + 5 i (5 i) + 3 + 4 i + \frac{i}{\cos (30) + i \sin (30)}$

Étape 2.3.1.3

Multipliez $2$ par $5$ .

$4 + 10 i + 10 i + 5 i (5 i) + 3 + 4 i + \frac{i}{\cos (30) + i \sin (30)}$

Étape 2.3.1.4

Multipliez $5 i (5 i)$ .

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Étape 2.3.1.4.1

Multipliez $5$ par $5$ .

$4 + 10 i + 10 i + 25 i i + 3 + 4 i + \frac{i}{\cos (30) + i \sin (30)}$

Étape 2.3.1.4.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$4 + 10 i + 10 i + 25 (i^{1} i) + 3 + 4 i + \frac{i}{\cos (30) + i \sin (30)}$

Étape 2.3.1.4.3

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$4 + 10 i + 10 i + 25 (i^{1} i^{1}) + 3 + 4 i + \frac{i}{\cos (30) + i \sin (30)}$

Étape 2.3.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 + 10 i + 10 i + 25 i^{1 + 1} + 3 + 4 i + \frac{i}{\cos (30) + i \sin (30)}$

Étape 2.3.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$4 + 10 i + 10 i + 25 i^{2} + 3 + 4 i + \frac{i}{\cos (30) + i \sin (30)}$

Étape 2.3.1.5

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$4 + 10 i + 10 i + 25 \cdot - 1 + 3 + 4 i + \frac{i}{\cos (30) + i \sin (30)}$

Étape 2.3.1.6

Multipliez $25$ par $- 1$ .

$4 + 10 i + 10 i - 25 + 3 + 4 i + \frac{i}{\cos (30) + i \sin (30)}$

Étape 2.3.2

Soustrayez $25$ de $4$ .

$- 21 + 10 i + 10 i + 3 + 4 i + \frac{i}{\cos (30) + i \sin (30)}$

Étape 2.3.3

Additionnez $10 i$ et $10 i$ .

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{i}{\cos (30) + i \sin (30)}$

Étape 2.4

Multipliez le numérateur et le dénominateur de $\frac{i}{0.8660254 + 0.5 i}$ par le conjugué de $0.8660254 + 0.5 i$ pour rendre le dénominateur réel.

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{i}{0.8660254 + 0.5 i} \cdot \frac{0.8660254 - 0.5 i}{0.8660254 - 0.5 i}$

Étape 2.5

Multipliez.

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Étape 2.5.1

Associez.

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{i (0.8660254 - 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Étape 2.5.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{i \cdot 0.8660254 + i (- 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Étape 2.5.2.2

Déplacez $0.8660254$ à gauche de $i$ .

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.8660254 \cdot i + i (- 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Étape 2.5.2.3

Multipliez $i (- 0.5 i)$ .

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Étape 2.5.2.3.1

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.8660254 \cdot i - 0.5 (i^{1} i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Étape 2.5.2.3.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.8660254 \cdot i - 0.5 (i^{1} i^{1})}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Étape 2.5.2.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.8660254 \cdot i - 0.5 i^{1 + 1}}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Étape 2.5.2.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.8660254 \cdot i - 0.5 i^{2}}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Étape 2.5.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.2.4.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.8660254 i - 0.5 \cdot - 1}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Étape 2.5.2.4.2

Multipliez $- 0.5$ par $- 1$ .

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.8660254 i + 0.5}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Étape 2.5.2.5

Remettez dans l’ordre $0.8660254 i$ et $0.5$ .

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.5 + 0.8660254 i}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Étape 2.5.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.5.3.1

Développez $(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.5.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.5 + 0.8660254 i}{0.8660254 (0.8660254 - 0.5 i) + 0.5 i (0.8660254 - 0.5 i)}$

Étape 2.5.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.5 + 0.8660254 i}{0.8660254 \cdot 0.8660254 + 0.8660254 (- 0.5 i) + 0.5 i (0.8660254 - 0.5 i)}$

Étape 2.5.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.5 + 0.8660254 i}{0.8660254 \cdot 0.8660254 + 0.8660254 (- 0.5 i) + 0.5 i \cdot 0.8660254 + 0.5 i (- 0.5 i)}$

Étape 2.5.3.2

Simplifiez

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Étape 2.5.3.2.1

Multipliez $0.8660254$ par $0.8660254$ .

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.5 + 0.8660254 i}{0.75 + 0.8660254 (- 0.5 i) + 0.5 i \cdot 0.8660254 + 0.5 i (- 0.5 i)}$

Étape 2.5.3.2.2

Multipliez $- 0.5$ par $0.8660254$ .

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.5 + 0.8660254 i}{0.75 - 0.4330127 i + 0.5 i \cdot 0.8660254 + 0.5 i (- 0.5 i)}$

Étape 2.5.3.2.3

Multipliez $0.8660254$ par $0.5$ .

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.5 + 0.8660254 i}{0.75 - 0.4330127 i + 0.4330127 i + 0.5 i (- 0.5 i)}$

Étape 2.5.3.2.4

Multipliez $- 0.5$ par $0.5$ .

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.5 + 0.8660254 i}{0.75 - 0.4330127 i + 0.4330127 i - 0.25 i i}$

Étape 2.5.3.2.5

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.5 + 0.8660254 i}{0.75 - 0.4330127 i + 0.4330127 i - 0.25 (i^{1} i)}$

Étape 2.5.3.2.6

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.5 + 0.8660254 i}{0.75 - 0.4330127 i + 0.4330127 i - 0.25 (i^{1} i^{1})}$

Étape 2.5.3.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.5 + 0.8660254 i}{0.75 - 0.4330127 i + 0.4330127 i - 0.25 i^{1 + 1}}$

Étape 2.5.3.2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.5 + 0.8660254 i}{0.75 - 0.4330127 i + 0.4330127 i - 0.25 i^{2}}$

Étape 2.5.3.2.9

Additionnez $- 0.4330127 i$ et $0.4330127 i$ .

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.5 + 0.8660254 i}{0.75 + 0 i - 0.25 i^{2}}$

Étape 2.5.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.3.3.1

Multipliez $0$ par $i$ .

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.5 + 0.8660254 i}{0.75 + 0 - 0.25 i^{2}}$

Étape 2.5.3.3.2

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.5 + 0.8660254 i}{0.75 + 0 - 0.25 \cdot - 1}$

Étape 2.5.3.3.3

Multipliez $- 0.25$ par $- 1$ .

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.5 + 0.8660254 i}{0.75 + 0 + 0.25}$

Étape 2.5.3.4

Additionnez $0.75$ et $0$ .

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.5 + 0.8660254 i}{0.75 + 0.25}$

Étape 2.5.3.5

Additionnez $0.75$ et $0.25$ .

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.5 + 0.8660254 i}{1}$

Étape 2.6

Réécrivez $0.5$ comme $1 (0.5)$ .

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{1 (0.5) + 0.8660254 i}{1}$

Étape 2.7

Factorisez $1$ à partir de $0.8660254 i$ .

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{1 (0.5) + 1 (0.8660254 i)}{1}$

Étape 2.8

Factorisez $1$ à partir de $1 (0.5) + 1 (0.8660254 i)$ .

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{1 (0.5 + 0.8660254 i)}{1}$

Étape 2.9

Factorisez $1$ à partir de $1$ .

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{1 (0.5 + 0.8660254 i)}{1 (1)}$

Étape 2.10

Séparez les fractions.

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{1}{1} \cdot \frac{0.5 + 0.8660254 i}{1}$

Étape 2.11

Divisez $1$ par $1$ .

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + 1 \frac{0.5 + 0.8660254 i}{1}$

Étape 2.12

Divisez $0.5 + 0.8660254 i$ par $1$ .

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + 1 (0.5 + 0.8660254 i)$

Étape 2.13

Appliquez la propriété distributive.

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + 1 \cdot 0.5 + 1 (0.8660254 i)$

Étape 2.14

Multipliez $1$ par $0.5$ .

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + 0.5 + 1 (0.8660254 i)$

Étape 2.15

Multipliez $0.8660254$ par $1$ .

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + 0.5 + 0.8660254 i$

Étape 3

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 3.1

Additionnez $- 21$ et $3$ .

$- 18 + 20 i + 4 i + 0.5 + 0.8660254 i$

Étape 3.2

Additionnez $- 18$ et $0.5$ .

$- 17.5 + 20 i + 4 i + 0.8660254 i$

Étape 3.3

Additionnez $20 i$ et $4 i$ .

$- 17.5 + 24 i + 0.8660254 i$

Étape 3.4

Additionnez $24 i$ et $0.8660254 i$ .

$- 17.5 + 24.8660254 i$