Ensembles finis Exemples

$y = \frac{5}{x^{2} - 4 x + 7}$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $\frac{5}{x^{2} - 4 x + 7} = y$ .

$\frac{5}{x^{2} - 4 x + 7} = y$

Étape 2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$x^{2} - 4 x + 7, 1$

Étape 2.2

Supprimez les parenthèses.

$x^{2} - 4 x + 7, 1$

Étape 2.3

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$x^{2} - 4 x + 7$

Étape 3

Multiplier chaque terme dans $\frac{5}{x^{2} - 4 x + 7} = y$ par $x^{2} - 4 x + 7$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{5}{x^{2} - 4 x + 7} = y$ par $x^{2} - 4 x + 7$ .

$\frac{5}{x^{2} - 4 x + 7} (x^{2} - 4 x + 7) = y (x^{2} - 4 x + 7)$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{2} - 4 x + 7$ .

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Étape 3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5}{x^{2} - 4 x + 7} (x^{2} - 4 x + 7) = y (x^{2} - 4 x + 7)$

Étape 3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$5 = y (x^{2} - 4 x + 7)$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$5 = y x^{2} + y (- 4 x) + y \cdot 7$

Étape 3.3.2

Simplifiez

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Étape 3.3.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$5 = y x^{2} - 4 y x + y \cdot 7$

Étape 3.3.2.2

Déplacez $7$ à gauche de $y$ .

$5 = y x^{2} - 4 y x + 7 \cdot y$

$5 = y x^{2} - 4 y x + 7 y$

Étape 4

Résolvez l’équation.

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $y x^{2} - 4 y x + 7 y = 5$ .

$y x^{2} - 4 y x + 7 y = 5$

Étape 4.2

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$y x^{2} - 4 y x + 7 y - 5 = 0$

Étape 4.3

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 4.4

Remplacez les valeurs $a = y$ , $b = - 4 y$ et $c = 7 y - 5$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{4 y \pm \sqrt{{(- 4 y)}^{2} - 4 \cdot (y \cdot (7 y - 5))}}{2 y}$

Étape 4.5

Simplifiez

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Étape 4.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.5.1.1

Ajoutez des parenthèses.

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{{(- 4 y)}^{2} - 4 \cdot (y \cdot (7 y - 5))}}{2 y}$

Étape 4.5.1.2

Laissez $u = y \cdot (7 y - 5)$ . Remplacez toutes les occurrences de $y \cdot (7 y - 5)$ par $u$ .

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Étape 4.5.1.2.1

Appliquez la règle de produit à $- 4 y$ .

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} y^{2} - 4 \cdot u}}{2 y}$

Étape 4.5.1.2.2

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{16 y^{2} - 4 u}}{2 y}$

Étape 4.5.1.3

Factorisez $4$ à partir de $16 y^{2} - 4 u$ .

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Étape 4.5.1.3.1

Factorisez $4$ à partir de $16 y^{2}$ .

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 (4 y^{2}) - 4 u}}{2 y}$

Étape 4.5.1.3.2

Factorisez $4$ à partir de $- 4 u$ .

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 (4 y^{2}) + 4 (- u)}}{2 y}$

Étape 4.5.1.3.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (4 y^{2}) + 4 (- u)$ .

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 (4 y^{2} - u)}}{2 y}$

Étape 4.5.1.4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y \cdot (7 y - 5)$ .

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 (4 y^{2} - (y \cdot (7 y - 5)))}}{2 y}$

Étape 4.5.1.5

Simplifiez

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Étape 4.5.1.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.5.1.5.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 (4 y^{2} - (y (7 y) + y \cdot - 5))}}{2 y}$

Étape 4.5.1.5.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 (4 y^{2} - (7 y \cdot y + y \cdot - 5))}}{2 y}$

Étape 4.5.1.5.1.3

Déplacez $- 5$ à gauche de $y$ .

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 (4 y^{2} - (7 y \cdot y - 5 \cdot y))}}{2 y}$

Étape 4.5.1.5.1.4

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.5.1.5.1.4.1

Déplacez $y$ .

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 (4 y^{2} - (7 (y \cdot y) - 5 \cdot y))}}{2 y}$

Étape 4.5.1.5.1.4.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 (4 y^{2} - (7 y^{2} - 5 \cdot y))}}{2 y}$

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 (4 y^{2} - (7 y^{2} - 5 y))}}{2 y}$

Étape 4.5.1.5.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 (4 y^{2} - (7 y^{2}) - (- 5 y))}}{2 y}$

Étape 4.5.1.5.1.6

Multipliez $7$ par $- 1$ .

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 (4 y^{2} - 7 y^{2} - (- 5 y))}}{2 y}$

Étape 4.5.1.5.1.7

Multipliez $- 5$ par $- 1$ .

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 (4 y^{2} - 7 y^{2} + 5 y)}}{2 y}$

Étape 4.5.1.5.2

Soustrayez $7 y^{2}$ de $4 y^{2}$ .

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 (- 3 y^{2} + 5 y)}}{2 y}$

Étape 4.5.1.6

Factorisez $y$ à partir de $- 3 y^{2} + 5 y$ .

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Étape 4.5.1.6.1

Factorisez $y$ à partir de $- 3 y^{2}$ .

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 (y (- 3 y) + 5 y)}}{2 y}$

Étape 4.5.1.6.2

Factorisez $y$ à partir de $5 y$ .

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 (y (- 3 y) + y \cdot 5)}}{2 y}$

Étape 4.5.1.6.3

Factorisez $y$ à partir de $y (- 3 y) + y \cdot 5$ .

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 (y (- 3 y + 5))}}{2 y}$

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 y (- 3 y + 5)}}{2 y}$

Étape 4.5.1.7

Réécrivez $4 y (- 3 y + 5)$ comme $2^{2} (y (- 3 y + 5))$ .

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Étape 4.5.1.7.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{2^{2} y (- 3 y + 5)}}{2 y}$

Étape 4.5.1.7.2

Ajoutez des parenthèses.

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{2^{2} (y (- 3 y + 5))}}{2 y}$

Étape 4.5.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{4 y \pm 2 \sqrt{y (- 3 y + 5)}}{2 y}$

Étape 4.5.2

Simplifiez $\frac{4 y \pm 2 \sqrt{y (- 3 y + 5)}}{2 y}$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{y (- 3 y + 5)}}{y}$

Étape 4.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = \frac{2 y + \sqrt{y (- 3 y + 5)}}{y}$

$x = \frac{2 y - \sqrt{y (- 3 y + 5)}}{y}$

$x = \frac{2 y + \sqrt{y (- 3 y + 5)}}{y}$

$x = \frac{2 y - \sqrt{y (- 3 y + 5)}}{y}$