Ensembles finis Exemples

$\ln (x + 1) = - 1 + \ln (x - 1)$

Étape 1

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\ln (x + 1) - \ln (x - 1) = - 1$

Étape 2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{x + 1}{x - 1}) = - 1$

Étape 3

Réécrivez $\ln (\frac{x + 1}{x - 1}) = - 1$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b$ $\neq$ $1$ , $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{- 1} = \frac{x + 1}{x - 1}$

Étape 4

Multipliez en croix pour retirer la fraction.

$x + 1 = e^{- 1} (x - 1)$

Étape 5

Simplifiez $e^{- 1} (x - 1)$ .

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Étape 5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x + 1 = \frac{1}{e} (x - 1)$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$x + 1 = \frac{1}{e} x + \frac{1}{e} \cdot - 1$

Étape 5.3

Associez $\frac{1}{e}$ et $x$ .

$x + 1 = \frac{x}{e} + \frac{1}{e} \cdot - 1$

Étape 5.4

Associez $\frac{1}{e}$ et $- 1$ .

$x + 1 = \frac{x}{e} + \frac{- 1}{e}$

Étape 5.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$x + 1 = \frac{x}{e} - \frac{1}{e}$

Étape 6

Soustrayez $\frac{x}{e}$ des deux côtés de l’équation.

$x + 1 - \frac{x}{e} = - \frac{1}{e}$

Étape 7

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x - \frac{x}{e} = - \frac{1}{e} - 1$

Étape 8

Factorisez $x$ à partir de $x - \frac{x}{e}$ .

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Étape 8.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$x \cdot 1 - \frac{x}{e} = - \frac{1}{e} - 1$

Étape 8.2

Factorisez $x$ à partir de $- \frac{x}{e}$ .

$x \cdot 1 + x (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} - 1$

Étape 8.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot 1 + x (- \frac{1}{e})$ .

$x (1 - \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} - 1$

Étape 9

Divisez chaque terme dans $x (1 - \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} - 1$ par $1 - \frac{1}{e}$ et simplifiez.

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Étape 9.1

Divisez chaque terme dans $x (1 - \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} - 1$ par $1 - \frac{1}{e}$ .

$\frac{x (1 - \frac{1}{e})}{1 - \frac{1}{e}} = \frac{- \frac{1}{e}}{1 - \frac{1}{e}} + \frac{- 1}{1 - \frac{1}{e}}$

Étape 9.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 9.2.1

Annulez le facteur commun de $1 - \frac{1}{e}$ .

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Étape 9.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (1 - \frac{1}{e})}{1 - \frac{1}{e}} = \frac{- \frac{1}{e}}{1 - \frac{1}{e}} + \frac{- 1}{1 - \frac{1}{e}}$

Étape 9.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- \frac{1}{e}}{1 - \frac{1}{e}} + \frac{- 1}{1 - \frac{1}{e}}$

Étape 9.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 9.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{- \frac{1}{e} - 1}{1 - \frac{1}{e}}$

Étape 9.3.2

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $e$ .

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Étape 9.3.2.1

Multipliez $\frac{- \frac{1}{e} - 1}{1 - \frac{1}{e}}$ par $\frac{e}{e}$ .

$x = \frac{e}{e} \cdot \frac{- \frac{1}{e} - 1}{1 - \frac{1}{e}}$

Étape 9.3.2.2

Associez.

$x = \frac{e (- \frac{1}{e} - 1)}{e (1 - \frac{1}{e})}$

Étape 9.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{e (- \frac{1}{e}) + e \cdot - 1}{e \cdot 1 + e (- \frac{1}{e})}$

Étape 9.3.4

Simplifiez en annulant.

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Étape 9.3.4.1

Annulez le facteur commun de $e$ .

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Étape 9.3.4.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{e}$ dans le numérateur.

$x = \frac{e \frac{- 1}{e} + e \cdot - 1}{e \cdot 1 + e (- \frac{1}{e})}$

Étape 9.3.4.1.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{e \frac{- 1}{e} + e \cdot - 1}{e \cdot 1 + e (- \frac{1}{e})}$

Étape 9.3.4.1.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{- 1 + e \cdot - 1}{e \cdot 1 + e (- \frac{1}{e})}$

Étape 9.3.4.2

Annulez le facteur commun de $e$ .

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Étape 9.3.4.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{e}$ dans le numérateur.

$x = \frac{- 1 + e \cdot - 1}{e \cdot 1 + e \frac{- 1}{e}}$

Étape 9.3.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{- 1 + e \cdot - 1}{e \cdot 1 + e \frac{- 1}{e}}$

Étape 9.3.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{- 1 + e \cdot - 1}{e \cdot 1 - 1}$

Étape 9.3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.3.5.1

Déplacez $- 1$ à gauche de $e$ .

$x = \frac{- 1 - 1 \cdot e}{e \cdot 1 - 1}$

Étape 9.3.5.2

Réécrivez $- 1 e$ comme $- e$ .

$x = \frac{- 1 - e}{e \cdot 1 - 1}$

Étape 9.3.6

Simplifiez en factorisant.

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Étape 9.3.6.1

Multipliez $e$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 - e}{e - 1}$

Étape 9.3.6.2

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 (1) - e}{e - 1}$

Étape 9.3.6.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- e$ .

$x = \frac{- 1 (1) - (e)}{e - 1}$

Étape 9.3.6.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - (e)$ .

$x = \frac{- 1 (1 + e)}{e - 1}$

Étape 9.3.6.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1 + e}{e - 1}$

Étape 10

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\ln (x + 1) = - 1 + \ln (x - 1)$ vrai.

$Aucune solution$