Ensembles finis Exemples

$x + 1 = \sqrt{6 x - 7} - 1$

Étape 1

Comme le radical est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$\sqrt{6 x - 7} - 1 = x + 1$

Étape 2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\sqrt{6 x - 7}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$\sqrt{6 x - 7} = x + 1 + 1$

Étape 2.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sqrt{6 x - 7} = x + 2$

Étape 3

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{6 x - 7}}^{2} = {(x + 2)}^{2}$

Étape 4

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{6 x - 7}$ comme ${(6 x - 7)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(6 x - 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 2)}^{2}$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Simplifiez ${({(6 x - 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 4.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(6 x - 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 4.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(6 x - 7)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + 2)}^{2}$

Étape 4.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(6 x - 7)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + 2)}^{2}$

Étape 4.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(6 x - 7)}^{1} = {(x + 2)}^{2}$

Étape 4.2.1.2

Simplifiez

$6 x - 7 = {(x + 2)}^{2}$

Étape 4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Simplifiez ${(x + 2)}^{2}$ .

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Étape 4.3.1.1

Réécrivez ${(x + 2)}^{2}$ comme $(x + 2) (x + 2)$ .

$6 x - 7 = (x + 2) (x + 2)$

Étape 4.3.1.2

Développez $(x + 2) (x + 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$6 x - 7 = x (x + 2) + 2 (x + 2)$

Étape 4.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$6 x - 7 = x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2)$

Étape 4.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$6 x - 7 = x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2$

Étape 4.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$6 x - 7 = x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2$

Étape 4.3.1.3.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$6 x - 7 = x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2$

Étape 4.3.1.3.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$6 x - 7 = x^{2} + 2 x + 2 x + 4$

Étape 4.3.1.3.2

Additionnez $2 x$ et $2 x$ .

$6 x - 7 = x^{2} + 4 x + 4$

Étape 5

Résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Comme $x$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$x^{2} + 4 x + 4 = 6 x - 7$

Étape 5.2

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 5.2.1

Soustrayez $6 x$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} + 4 x + 4 - 6 x = - 7$

Étape 5.2.2

Soustrayez $6 x$ de $4 x$ .

$x^{2} - 2 x + 4 = - 7$

Étape 5.3

Déplacez tous les termes du côté gauche de l’équation et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Ajoutez $7$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} - 2 x + 4 + 7 = 0$

Étape 5.3.2

Additionnez $4$ et $7$ .

$x^{2} - 2 x + 11 = 0$

Étape 5.4

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 5.5

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 2$ et $c = 11$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 11)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.6

Simplifiez

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Étape 5.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.6.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 11}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 11$ .

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Étape 5.6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 11}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.6.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $11$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 44}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.6.1.3

Soustrayez $44$ de $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 40}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.6.1.4

Réécrivez $- 40$ comme $- 1 (40)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 40}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.6.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (40)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{40}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{40}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.6.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{40}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.6.1.7

Réécrivez $40$ comme $2^{2} \cdot 10$ .

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Étape 5.6.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $40$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (10)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.6.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.6.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{10})}{2 \cdot 1}$

Étape 5.6.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{10}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.6.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{10}}{2}$

Étape 5.6.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{10}}{2}$ .

$x = 1 \pm i \sqrt{10}$

Étape 5.7

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = 1 + i \sqrt{10}, 1 - i \sqrt{10}$