Ensembles finis Exemples

$x + \sqrt{x + 6} = 14$

Étape 1

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$\sqrt{x + 6} = 14 - x$

Étape 2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{x + 6}}^{2} = {(14 - x)}^{2}$

Étape 3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x + 6}$ comme ${(x + 6)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(14 - x)}^{2}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Simplifiez ${({(x + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(x + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(14 - x)}^{2}$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(x + 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(14 - x)}^{2}$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(x + 6)}^{1} = {(14 - x)}^{2}$

Étape 3.2.1.2

Simplifiez

$x + 6 = {(14 - x)}^{2}$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Simplifiez ${(14 - x)}^{2}$ .

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Étape 3.3.1.1

Réécrivez ${(14 - x)}^{2}$ comme $(14 - x) (14 - x)$ .

$x + 6 = (14 - x) (14 - x)$

Étape 3.3.1.2

Développez $(14 - x) (14 - x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x + 6 = 14 (14 - x) - x (14 - x)$

Étape 3.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$x + 6 = 14 \cdot 14 + 14 (- x) - x (14 - x)$

Étape 3.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$x + 6 = 14 \cdot 14 + 14 (- x) - x \cdot 14 - x (- x)$

Étape 3.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1.3.1.1

Multipliez $14$ par $14$ .

$x + 6 = 196 + 14 (- x) - x \cdot 14 - x (- x)$

Étape 3.3.1.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $14$ .

$x + 6 = 196 - 14 x - x \cdot 14 - x (- x)$

Étape 3.3.1.3.1.3

Multipliez $14$ par $- 1$ .

$x + 6 = 196 - 14 x - 14 x - x (- x)$

Étape 3.3.1.3.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x + 6 = 196 - 14 x - 14 x - 1 \cdot - 1 x \cdot x$

Étape 3.3.1.3.1.5

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.1.3.1.5.1

Déplacez $x$ .

$x + 6 = 196 - 14 x - 14 x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x)$

Étape 3.3.1.3.1.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$x + 6 = 196 - 14 x - 14 x - 1 \cdot - 1 x^{2}$

Étape 3.3.1.3.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x + 6 = 196 - 14 x - 14 x + 1 x^{2}$

Étape 3.3.1.3.1.7

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$x + 6 = 196 - 14 x - 14 x + x^{2}$

Étape 3.3.1.3.2

Soustrayez $14 x$ de $- 14 x$ .

$x + 6 = 196 - 28 x + x^{2}$

Étape 4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Comme $x$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$196 - 28 x + x^{2} = x + 6$

Étape 4.2

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 4.2.1

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$196 - 28 x + x^{2} - x = 6$

Étape 4.2.2

Soustrayez $x$ de $- 28 x$ .

$196 + x^{2} - 29 x = 6$

Étape 4.3

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’équation.

$196 + x^{2} - 29 x - 6 = 0$

Étape 4.4

Soustrayez $6$ de $196$ .

$x^{2} - 29 x + 190 = 0$

Étape 4.5

Factorisez $x^{2} - 29 x + 190$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 4.5.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $190$ et dont la somme est $- 29$ .

$- 19, - 10$

Étape 4.5.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 19) (x - 10) = 0$

Étape 4.6

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 19 = 0$

$x - 10 = 0$

Étape 4.7

Définissez $x - 19$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.7.1

Définissez $x - 19$ égal à $0$ .

$x - 19 = 0$

Étape 4.7.2

Ajoutez $19$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 19$

Étape 4.8

Définissez $x - 10$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.8.1

Définissez $x - 10$ égal à $0$ .

$x - 10 = 0$

Étape 4.8.2

Ajoutez $10$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 10$

Étape 4.9

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 19) (x - 10) = 0$ vraie.

$x = 19, 10$

Étape 5

Excluez les solutions qui ne rendent pas $x + \sqrt{x + 6} = 14$ vrai.

$x = 10$