Ensembles finis Exemples

$V = {(x - a)}^{2} - x^{2}$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme ${(x - a)}^{2} - x^{2} = V$ .

${(x - a)}^{2} - x^{2} = V$

Étape 2

Déplacez tous les termes du côté gauche de l’équation et simplifiez.

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Étape 2.1

Soustrayez $V$ des deux côtés de l’équation.

${(x - a)}^{2} - x^{2} - V = 0$

Étape 2.2

Simplifiez ${(x - a)}^{2} - x^{2} - V$ .

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Réécrivez ${(x - a)}^{2}$ comme $(x - a) (x - a)$ .

$(x - a) (x - a) - x^{2} - V = 0$

Étape 2.2.1.2

Développez $(x - a) (x - a)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x (x - a) - a (x - a) - x^{2} - V = 0$

Étape 2.2.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot x + x (- a) - a (x - a) - x^{2} - V = 0$

Étape 2.2.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot x + x (- a) - a x - a (- a) - x^{2} - V = 0$

Étape 2.2.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.2.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} + x (- a) - a x - a (- a) - x^{2} - V = 0$

Étape 2.2.1.3.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x^{2} - x a - a x - a (- a) - x^{2} - V = 0$

Étape 2.2.1.3.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x^{2} - x a - a x - 1 \cdot - 1 a \cdot a - x^{2} - V = 0$

Étape 2.2.1.3.1.4

Multipliez $a$ par $a$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.1.3.1.4.1

Déplacez $a$ .

$x^{2} - x a - a x - 1 \cdot - 1 (a \cdot a) - x^{2} - V = 0$

Étape 2.2.1.3.1.4.2

Multipliez $a$ par $a$ .

$x^{2} - x a - a x - 1 \cdot - 1 a^{2} - x^{2} - V = 0$

Étape 2.2.1.3.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x^{2} - x a - a x + 1 a^{2} - x^{2} - V = 0$

Étape 2.2.1.3.1.6

Multipliez $a^{2}$ par $1$ .

$x^{2} - x a - a x + a^{2} - x^{2} - V = 0$

Étape 2.2.1.3.2

Soustrayez $a x$ de $- x a$ .

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Étape 2.2.1.3.2.1

Déplacez $x$ .

$x^{2} - a x - a x + a^{2} - x^{2} - V = 0$

Étape 2.2.1.3.2.2

Soustrayez $a x$ de $- a x$ .

$x^{2} - 2 a x + a^{2} - x^{2} - V = 0$

Étape 2.2.2

Associez les termes opposés dans $x^{2} - 2 a x + a^{2} - x^{2} - V$ .

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Étape 2.2.2.1

Soustrayez $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$- 2 a x + a^{2} + 0 - V = 0$

Étape 2.2.2.2

Additionnez $- 2 a x + a^{2}$ et $0$ .

$- 2 a x + a^{2} - V = 0$

Étape 3

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 4

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 2 x$ et $c = - V$ dans la formule quadratique et résolvez pour $a$ .

$\frac{2 x \pm \sqrt{{(- 2 x)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- V))}}{2 \cdot 1}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.1

Ajoutez des parenthèses.

$a = \frac{2 x \pm \sqrt{{(- 2 x)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- V))}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.2

Laissez $u = 1 \cdot (- V)$ . Remplacez toutes les occurrences de $1 \cdot (- V)$ par $u$ .

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Étape 5.1.2.1

Appliquez la règle de produit à $- 2 x$ .

$a = \frac{2 x \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} x^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.2.2

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$a = \frac{2 x \pm \sqrt{4 x^{2} - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.3

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{2} - 4 u$ .

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Étape 5.1.3.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{2}$ .

$a = \frac{2 x \pm \sqrt{4 (x^{2}) - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.3.2

Factorisez $4$ à partir de $- 4 u$ .

$a = \frac{2 x \pm \sqrt{4 (x^{2}) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.3.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (x^{2}) + 4 (- u)$ .

$a = \frac{2 x \pm \sqrt{4 (x^{2} - u)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 \cdot (- V)$ .

$a = \frac{2 x \pm \sqrt{4 (x^{2} - (1 \cdot (- V)))}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.5.1

Multipliez $- V$ par $1$ .

$a = \frac{2 x \pm \sqrt{4 (x^{2} + V)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.5.2

Multipliez $- - V$ .

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Étape 5.1.5.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$a = \frac{2 x \pm \sqrt{4 (x^{2} + 1 V)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.5.2.2

Multipliez $V$ par $1$ .

$a = \frac{2 x \pm \sqrt{4 (x^{2} + V)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.6

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$a = \frac{2 x \pm \sqrt{2^{2} (x^{2} + V)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.7

Extrayez les termes de sous le radical.

$a = \frac{2 x \pm 2 \sqrt{x^{2} + V}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$a = \frac{2 x \pm 2 \sqrt{x^{2} + V}}{2}$

Étape 5.3

Simplifiez $\frac{2 x \pm 2 \sqrt{x^{2} + V}}{2}$ .

$a = x \pm \sqrt{x^{2} + V}$

Étape 6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$a = x + \sqrt{x^{2} + V}$

$a = x - \sqrt{x^{2} + V}$