Ensembles finis Exemples

$\frac{x - 3}{x + 5} > 0$

Étape 1

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$x - 3 = 0$

$x + 5 = 0$

Étape 2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 3

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 5$

Étape 4

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = 3$

$x = - 5$

Étape 5

Consolidez les solutions.

$x = 3, - 5$

Étape 6

Déterminez le domaine de $\frac{x - 3}{x + 5}$ .

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Étape 6.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{x - 3}{x + 5}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x + 5 = 0$

Étape 6.2

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 5$

Étape 6.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, \infty)$

Étape 7

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 5$

$- 5 < x < 3$

$x > 3$

Étape 8

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 8.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 5$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 8.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 5$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 8$

Étape 8.1.2

Remplacez $x$ par $- 8$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{(- 8) - 3}{(- 8) + 5} > 0$

Étape 8.1.3

Le côté gauche $3.\overline{6}$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 8.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 5 < x < 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 8.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 5 < x < 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 8.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{(0) - 3}{(0) + 5} > 0$

Étape 8.2.3

Le côté gauche $- 0.6$ n’est pas supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 8.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 8.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 6$

Étape 8.3.2

Remplacez $x$ par $6$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{(6) - 3}{(6) + 5} > 0$

Étape 8.3.3

Le côté gauche $0.\overline{27}$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 8.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 5$ Vrai

$- 5 < x < 3$ Faux

$x > 3$ Vrai

$x < - 5$ Vrai

$- 5 < x < 3$ Faux

$x > 3$ Vrai

Étape 9

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x < - 5$ ou $x > 3$

Étape 10

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$(- \infty, - 5) \cup (3, \infty)$

Étape 11