Ensembles finis Exemples

$f (x) = 4^{2} + 24 x + 47$

Étape 1

Simplifiez $4^{2} + 24 x + 47$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$y = 16 + 24 x + 47$

Étape 1.2

Additionnez $16$ et $47$ .

$y = 24 x + 63$

Étape 2

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 3, \pm 7, \pm 9, \pm 21, \pm 63$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 8, \pm 12, \pm 24$

Étape 3

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{3}, \pm \frac{1}{4}, \pm \frac{1}{6}, \pm \frac{1}{8}, \pm \frac{1}{12}, \pm \frac{1}{24}, \pm 3, \pm \frac{3}{2}, \pm \frac{3}{4}, \pm \frac{3}{8}, \pm 7, \pm \frac{7}{2}, \pm \frac{7}{3}, \pm \frac{7}{4}, \pm \frac{7}{6}, \pm \frac{7}{8}, \pm \frac{7}{12}, \pm \frac{7}{24}, \pm 9, \pm \frac{9}{2}, \pm \frac{9}{4}, \pm \frac{9}{8}, \pm 21, \pm \frac{21}{2}, \pm \frac{21}{4}, \pm \frac{21}{8}, \pm 63, \pm \frac{63}{2}, \pm \frac{63}{4}, \pm \frac{63}{8}$

Étape 4

Remplacez les racines possibles une par une dans le polynôme afin de déterminer les racines réelles. Simplifiez pour vérifier que la valeur est $0$ , ce qui signifie que c’est une racine.

$24 (- \frac{21}{8}) + 63$

Étape 5

Simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $x = - \frac{21}{8}$ est une racine du polynôme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.1

Annulez le facteur commun de $8$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{21}{8}$ dans le numérateur.

$24 (\frac{- 21}{8}) + 63$

Étape 5.1.1.2

Factorisez $8$ à partir de $24$ .

$8 (3) \frac{- 21}{8} + 63$

Étape 5.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$8 \cdot 3 \frac{- 21}{8} + 63$

Étape 5.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$3 \cdot - 21 + 63$

Étape 5.1.2

Multipliez $3$ par $- 21$ .

$- 63 + 63$

Étape 5.2

Additionnez $- 63$ et $63$ .

$0$

Étape 6

Comme $- \frac{21}{8}$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x + \frac{21}{8}$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{24 x + 63}{x + \frac{21}{8}}$

Étape 7

Ensuite, déterminez les racines du polynôme restant. Le degré du polynôme a été réduit de $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$- \frac{21}{8}$	$24$	$63$

Étape 7.2

Le premier nombre dans le dividende $(24)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$- \frac{21}{8}$	$24$	$63$

	$24$

Étape 7.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(24)$ par le diviseur $(- \frac{21}{8})$ et placez le résultat de $(- 63)$ sous le terme suivant dans le dividende $(63)$ .

$- \frac{21}{8}$	$24$	$63$
		$- 63$
	$24$

Étape 7.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- \frac{21}{8}$	$24$	$63$
		$- 63$
	$24$	$0$

Étape 7.5

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$24$

Étape 8

Comme $24 \neq 0$ , il n’y a aucune solution.

Aucune solution

Étape 9

Le polynôme peut être écrit comme un ensemble de facteurs linéaires.

$x + \frac{21}{8}$

Étape 10

Ce sont les racines (zéros) du polynôme $24 x + 63$ .

$x = - \frac{21}{8}$

Étape 11