Ensembles finis Exemples

$f (x) = 6 \ln ({(\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2})}^{\frac{1}{3}})$

Étape 1

Convertissez des expressions avec exposants fractionnaires en radicaux.

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Étape 1.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$6 \ln (\sqrt[3]{{(\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2})}^{1}})$

Étape 1.2

Toute valeur élevée à $1$ est la base elle-même.

$6 \ln (\sqrt[3]{\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2}})$

Étape 2

Définissez l’argument dans $\ln (\sqrt[3]{\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2}})$ supérieur à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$\sqrt[3]{\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2}} > 0$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

To remove the radical on the left side of the inequality, cube both sides of the inequality.

${\sqrt[3]{\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2}}}^{3} > 0^{3}$

Étape 3.2

Simplifiez chaque côté de l’inégalité.

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Étape 3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2}}$ comme ${(\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2})}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2})}^{\frac{1}{3}})}^{3} > 0^{3}$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez ${({(\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2})}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2})}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 3.2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2})}^{\frac{1}{3} \cdot 3} > 0^{3}$

Étape 3.2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2})}^{\frac{1}{3} \cdot 3} > 0^{3}$

Étape 3.2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2})}^{1} > 0^{3}$

Étape 3.2.2.1.2

Simplifiez

$\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2} > 0^{3}$

Étape 3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2} > 0$

Étape 3.3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.3.1

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$x^{2} + 2 = 0$

$x^{2} - 2 = 0$

Étape 3.3.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} = - 2$

Étape 3.3.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{- 2}$

Étape 3.3.4

Simplifiez $\pm \sqrt{- 2}$ .

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Étape 3.3.4.1

Réécrivez $- 2$ comme $- 1 (2)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (2)}$

Étape 3.3.4.2

Réécrivez $\sqrt{- 1 (2)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$

Étape 3.3.4.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \pm i \sqrt{2}$

Étape 3.3.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.3.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = i \sqrt{2}$

Étape 3.3.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - i \sqrt{2}$

Étape 3.3.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

Étape 3.3.6

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 2$

Étape 3.3.7

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{2}$

Étape 3.3.8

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.3.8.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \sqrt{2}$

Étape 3.3.8.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \sqrt{2}$

Étape 3.3.8.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Étape 3.3.9

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Étape 3.3.10

Consolidez les solutions.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Étape 3.4

Déterminez le domaine de $\sqrt[3]{\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2}}$ .

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Étape 3.4.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{2} - 2 = 0$

Étape 3.4.2

Résolvez $x$ .

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Étape 3.4.2.1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 2$

Étape 3.4.2.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{2}$

Étape 3.4.2.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.4.2.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \sqrt{2}$

Étape 3.4.2.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \sqrt{2}$

Étape 3.4.2.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Étape 3.4.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, - \sqrt{2}) \cup (- \sqrt{2}, \sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, \infty)$

Étape 3.5

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - \sqrt{2}$

$- \sqrt{2} < x < \sqrt{2}$

$x > \sqrt{2}$

Étape 3.6

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 3.6.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - \sqrt{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 3.6.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - \sqrt{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 4$

Étape 3.6.1.2

Remplacez $x$ par $- 4$ dans l’inégalité d’origine.

$\sqrt[3]{\frac{{(- 4)}^{2} + 2}{{(- 4)}^{2} - 2}} > 0$

Étape 3.6.1.3

Le côté gauche $1.08738037$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 3.6.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- \sqrt{2} < x < \sqrt{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 3.6.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- \sqrt{2} < x < \sqrt{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 3.6.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\sqrt[3]{\frac{{(0)}^{2} + 2}{{(0)}^{2} - 2}} > 0$

Étape 3.6.2.3

Le côté gauche $- 1$ n’est pas supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 3.6.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > \sqrt{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 3.6.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > \sqrt{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 3.6.3.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$\sqrt[3]{\frac{{(4)}^{2} + 2}{{(4)}^{2} - 2}} > 0$

Étape 3.6.3.3

Le côté gauche $1.08738037$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 3.6.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - \sqrt{2}$ Vrai

$- \sqrt{2} < x < \sqrt{2}$ Faux

$x > \sqrt{2}$ Vrai

$x < - \sqrt{2}$ Vrai

$- \sqrt{2} < x < \sqrt{2}$ Faux

$x > \sqrt{2}$ Vrai

Étape 3.7

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x < - \sqrt{2}$ ou $x > \sqrt{2}$

Étape 4

Définissez le dénominateur dans $\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{2} - 2 = 0$

Étape 5

Résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 2$

Étape 5.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{2}$

Étape 5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 5.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \sqrt{2}$

Étape 5.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \sqrt{2}$

Étape 5.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Étape 6

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - \sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x < - \sqrt{2}, x > \sqrt{2}}$

Étape 7