Ensembles finis Exemples

$y = 3 x^{4} - 8 x^{3} - 6 x^{2} + 24 x - 9$

Étape 1

Définissez $3 x^{4} - 8 x^{3} - 6 x^{2} + 24 x - 9$ égal à $0$ .

$3 x^{4} - 8 x^{3} - 6 x^{2} + 24 x - 9 = 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1.1

Regroupez les termes.

$- 8 x^{3} + 24 x + 3 x^{4} - 6 x^{2} - 9 = 0$

Étape 2.1.2

Factorisez $- 8 x$ à partir de $- 8 x^{3} + 24 x$ .

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Étape 2.1.2.1

Factorisez $- 8 x$ à partir de $- 8 x^{3}$ .

$- 8 x \cdot x^{2} + 24 x + 3 x^{4} - 6 x^{2} - 9 = 0$

Étape 2.1.2.2

Factorisez $- 8 x$ à partir de $24 x$ .

$- 8 x \cdot x^{2} - 8 x \cdot - 3 + 3 x^{4} - 6 x^{2} - 9 = 0$

Étape 2.1.2.3

Factorisez $- 8 x$ à partir de $- 8 x (x^{2}) - 8 x (- 3)$ .

$- 8 x (x^{2} - 3) + 3 x^{4} - 6 x^{2} - 9 = 0$

Étape 2.1.3

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{4} - 6 x^{2} - 9$ .

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Étape 2.1.3.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{4}$ .

$- 8 x (x^{2} - 3) + 3 (x^{4}) - 6 x^{2} - 9 = 0$

Étape 2.1.3.2

Factorisez $3$ à partir de $- 6 x^{2}$ .

$- 8 x (x^{2} - 3) + 3 (x^{4}) + 3 (- 2 x^{2}) - 9 = 0$

Étape 2.1.3.3

Factorisez $3$ à partir de $- 9$ .

$- 8 x (x^{2} - 3) + 3 x^{4} + 3 (- 2 x^{2}) + 3 \cdot - 3 = 0$

Étape 2.1.3.4

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{4} + 3 (- 2 x^{2})$ .

$- 8 x (x^{2} - 3) + 3 (x^{4} - 2 x^{2}) + 3 \cdot - 3 = 0$

Étape 2.1.3.5

Factorisez $3$ à partir de $3 (x^{4} - 2 x^{2}) + 3 \cdot - 3$ .

$- 8 x (x^{2} - 3) + 3 (x^{4} - 2 x^{2} - 3) = 0$

Étape 2.1.4

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 8 x (x^{2} - 3) + 3 ({(x^{2})}^{2} - 2 x^{2} - 3) = 0$

Étape 2.1.5

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$- 8 x (x^{2} - 3) + 3 (u^{2} - 2 u - 3) = 0$

Étape 2.1.6

Factorisez $u^{2} - 2 u - 3$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1.6.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 3$ et dont la somme est $- 2$ .

$- 3, 1$

Étape 2.1.6.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$- 8 x (x^{2} - 3) + 3 ((u - 3) (u + 1)) = 0$

Étape 2.1.7

Factorisez.

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Étape 2.1.7.1

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$- 8 x (x^{2} - 3) + 3 ((x^{2} - 3) (x^{2} + 1)) = 0$

Étape 2.1.7.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- 8 x (x^{2} - 3) + 3 (x^{2} - 3) (x^{2} + 1) = 0$

Étape 2.1.8

Factorisez $x^{2} - 3$ à partir de $- 8 x (x^{2} - 3) + 3 (x^{2} - 3) (x^{2} + 1)$ .

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Étape 2.1.8.1

Factorisez $x^{2} - 3$ à partir de $- 8 x (x^{2} - 3)$ .

$(x^{2} - 3) (- 8 x) + 3 (x^{2} - 3) (x^{2} + 1) = 0$

Étape 2.1.8.2

Factorisez $x^{2} - 3$ à partir de $3 (x^{2} - 3) (x^{2} + 1)$ .

$(x^{2} - 3) (- 8 x) + (x^{2} - 3) (3 (x^{2} + 1)) = 0$

Étape 2.1.8.3

Factorisez $x^{2} - 3$ à partir de $(x^{2} - 3) (- 8 x) + (x^{2} - 3) (3 (x^{2} + 1))$ .

$(x^{2} - 3) (- 8 x + 3 (x^{2} + 1)) = 0$

Étape 2.1.9

Appliquez la propriété distributive.

$(x^{2} - 3) (- 8 x + 3 x^{2} + 3 \cdot 1) = 0$

Étape 2.1.10

Multipliez $3$ par $1$ .

$(x^{2} - 3) (- 8 x + 3 x^{2} + 3) = 0$

Étape 2.1.11

Remettez les termes dans l’ordre.

$(x^{2} - 3) (3 x^{2} - 8 x + 3) = 0$

Étape 2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{2} - 3 = 0$

$3 x^{2} - 8 x + 3 = 0$

Étape 2.3

Définissez $x^{2} - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.3.1

Définissez $x^{2} - 3$ égal à $0$ .

$x^{2} - 3 = 0$

Étape 2.3.2

Résolvez $x^{2} - 3 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.3.2.1

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 3$

Étape 2.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{3}$

Étape 2.3.2.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.3.2.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \sqrt{3}$

Étape 2.3.2.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \sqrt{3}$

Étape 2.3.2.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Étape 2.4

Définissez $3 x^{2} - 8 x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $3 x^{2} - 8 x + 3$ égal à $0$ .

$3 x^{2} - 8 x + 3 = 0$

Étape 2.4.2

Résolvez $3 x^{2} - 8 x + 3 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.4.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2.4.2.2

Remplacez les valeurs $a = 3$ , $b = - 8$ et $c = 3$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 3)}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.4.2.3

Simplifiez

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Étape 2.4.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.4.2.3.1.1

Élevez $- 8$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 3 \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.4.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 3 \cdot 3$ .

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Étape 2.4.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 12 \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.4.2.3.1.2.2

Multipliez $- 12$ par $3$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 36}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.4.2.3.1.3

Soustrayez $36$ de $64$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.4.2.3.1.4

Réécrivez $28$ comme $2^{2} \cdot 7$ .

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Étape 2.4.2.3.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $28$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.4.2.3.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.4.2.3.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.4.2.3.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$

Étape 2.4.2.3.3

Simplifiez $\frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{7}}{3}$

Étape 2.4.2.4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = \frac{4 + \sqrt{7}}{3}, \frac{4 - \sqrt{7}}{3}$

Étape 2.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x^{2} - 3) (3 x^{2} - 8 x + 3) = 0$ vraie.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, \frac{4 + \sqrt{7}}{3}, \frac{4 - \sqrt{7}}{3}$

Étape 3

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, \frac{4 + \sqrt{7}}{3}, \frac{4 - \sqrt{7}}{3}$

Forme décimale :

$x = 1.73205080 \dots, - 1.73205080 \dots, 2.21525043 \dots, 0.45141622 \dots$

Étape 4