Ensembles finis Exemples

$5 x + 8 y - 6 z = 14$ , $3 x + 4 y - 2 z = 8$ , $x + 2 y - 2 z = 3$

Étape 1

Représentez le système d’équations dans le format de matrice.

$[\begin{array}{c} 5 & 8 & - 6 \\ 3 & 4 & - 2 \\ 1 & 2 & - 2 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 14 \\ 8 \\ 3 \end{array}]$

Étape 2

Find the determinant of the coefficient matrix $[\begin{array}{c} 5 & 8 & - 6 \\ 3 & 4 & - 2 \\ 1 & 2 & - 2 \end{array}]$ .

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Étape 2.1

Write $[\begin{array}{c} 5 & 8 & - 6 \\ 3 & 4 & - 2 \\ 1 & 2 & - 2 \end{array}]$ in determinant notation.

$| \begin{array}{c} 5 & 8 & - 6 \\ 3 & 4 & - 2 \\ 1 & 2 & - 2 \end{array} |$

Étape 2.2

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Étape 2.2.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 2.2.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Étape 2.2.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & - 2 \\ 2 & - 2 \end{array} |$

Étape 2.2.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$5 | \begin{array}{c} 4 & - 2 \\ 2 & - 2 \end{array} |$

Étape 2.2.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & - 2 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Étape 2.2.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 8 | \begin{array}{c} 3 & - 2 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Étape 2.2.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{array} |$

Étape 2.2.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$- 6 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{array} |$

Étape 2.2.9

Add the terms together.

$5 | \begin{array}{c} 4 & - 2 \\ 2 & - 2 \end{array} | - 8 | \begin{array}{c} 3 & - 2 \\ 1 & - 2 \end{array} | - 6 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{array} |$

Étape 2.3

Évaluez $| \begin{array}{c} 4 & - 2 \\ 2 & - 2 \end{array} |$ .

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Étape 2.3.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$5 (4 \cdot - 2 - 2 \cdot - 2) - 8 | \begin{array}{c} 3 & - 2 \\ 1 & - 2 \end{array} | - 6 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{array} |$

Étape 2.3.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 2.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.2.1.1

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$5 (- 8 - 2 \cdot - 2) - 8 | \begin{array}{c} 3 & - 2 \\ 1 & - 2 \end{array} | - 6 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{array} |$

Étape 2.3.2.1.2

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$5 (- 8 + 4) - 8 | \begin{array}{c} 3 & - 2 \\ 1 & - 2 \end{array} | - 6 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{array} |$

Étape 2.3.2.2

Additionnez $- 8$ et $4$ .

$5 \cdot - 4 - 8 | \begin{array}{c} 3 & - 2 \\ 1 & - 2 \end{array} | - 6 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{array} |$

Étape 2.4

Évaluez $| \begin{array}{c} 3 & - 2 \\ 1 & - 2 \end{array} |$ .

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Étape 2.4.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$5 \cdot - 4 - 8 (3 \cdot - 2 - 1 \cdot - 2) - 6 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{array} |$

Étape 2.4.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.4.2.1.1

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$5 \cdot - 4 - 8 (- 6 - 1 \cdot - 2) - 6 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{array} |$

Étape 2.4.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$5 \cdot - 4 - 8 (- 6 + 2) - 6 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{array} |$

Étape 2.4.2.2

Additionnez $- 6$ et $2$ .

$5 \cdot - 4 - 8 \cdot - 4 - 6 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{array} |$

Étape 2.5

Évaluez $| \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{array} |$ .

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Étape 2.5.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$5 \cdot - 4 - 8 \cdot - 4 - 6 (3 \cdot 2 - 1 \cdot 4)$

Étape 2.5.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 2.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.2.1.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$5 \cdot - 4 - 8 \cdot - 4 - 6 (6 - 1 \cdot 4)$

Étape 2.5.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$5 \cdot - 4 - 8 \cdot - 4 - 6 (6 - 4)$

Étape 2.5.2.2

Soustrayez $4$ de $6$ .

$5 \cdot - 4 - 8 \cdot - 4 - 6 \cdot 2$

Étape 2.6

Simplifiez le déterminant.

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Étape 2.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.6.1.1

Multipliez $5$ par $- 4$ .

$- 20 - 8 \cdot - 4 - 6 \cdot 2$

Étape 2.6.1.2

Multipliez $- 8$ par $- 4$ .

$- 20 + 32 - 6 \cdot 2$

Étape 2.6.1.3

Multipliez $- 6$ par $2$ .

$- 20 + 32 - 12$

Étape 2.6.2

Additionnez $- 20$ et $32$ .

$12 - 12$

Étape 2.6.3

Soustrayez $12$ de $12$ .

$0$

$D = 0$

Étape 3

Since the determinant is $0$ , the system cannot be solved using Cramer's Rule.