Ensembles finis Exemples

${}_{20}C_{8}$

Étape 1

Évaluez ${}_{20}C_{8}$ en utilisant la formule ${}_{n}C_{r} = \frac{n!}{(n - r)! r!}$ .

$\frac{20!}{(20 - 8)! 8!}$

Étape 2

Soustrayez $8$ de $20$ .

$\frac{20!}{(12)! 8!}$

Étape 3

Simplifiez $\frac{20!}{(12)! 8!}$ .

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Étape 3.1

Réécrivez $20!$ comme $20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12!$ .

$\frac{20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12!}{(12)! 8!}$

Étape 3.2

Annulez le facteur commun de $12!$ .

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12!}{(12)! 8!}$

Étape 3.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13}{8!}$

Étape 3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.1

Multipliez $20$ par $19$ .

$\frac{380 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13}{8!}$

Étape 3.3.2

Multipliez $380$ par $18$ .

$\frac{6840 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13}{8!}$

Étape 3.3.3

Multipliez $6840$ par $17$ .

$\frac{116280 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13}{8!}$

Étape 3.3.4

Multipliez $116280$ par $16$ .

$\frac{1860480 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13}{8!}$

Étape 3.3.5

Multipliez $1860480$ par $15$ .

$\frac{27907200 \cdot 14 \cdot 13}{8!}$

Étape 3.3.6

Multipliez $27907200$ par $14$ .

$\frac{390700800 \cdot 13}{8!}$

Étape 3.3.7

Multipliez $390700800$ par $13$ .

$\frac{5079110400}{8!}$

Étape 3.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.4.1

Développez $8!$ en $8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$ .

$\frac{5079110400}{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Étape 3.4.2

Multipliez $8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$ .

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Étape 3.4.2.1

Multipliez $8$ par $7$ .

$\frac{5079110400}{56 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Étape 3.4.2.2

Multipliez $56$ par $6$ .

$\frac{5079110400}{336 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Étape 3.4.2.3

Multipliez $336$ par $5$ .

$\frac{5079110400}{1680 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Étape 3.4.2.4

Multipliez $1680$ par $4$ .

$\frac{5079110400}{6720 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Étape 3.4.2.5

Multipliez $6720$ par $3$ .

$\frac{5079110400}{20160 \cdot 2 \cdot 1}$

Étape 3.4.2.6

Multipliez $20160$ par $2$ .

$\frac{5079110400}{40320 \cdot 1}$

Étape 3.4.2.7

Multipliez $40320$ par $1$ .

$\frac{5079110400}{40320}$

Étape 3.5

Divisez $5079110400$ par $40320$ .

$125970$