Ensembles finis Exemples

$[\begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 2 & - 2 \end{array}]$

Étape 1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Étape 2

Find the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$5 \cdot - 2 - (- 2 \cdot 1)$

Étape 2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.1

Multipliez $5$ par $- 2$ .

$- 10 - (- 2 \cdot 1)$

Étape 2.2.1.2

Multipliez $- (- 2 \cdot 1)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.2.1

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$- 10 - - 2$

Étape 2.2.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$- 10 + 2$

Étape 2.2.2

Additionnez $- 10$ et $2$ .

$- 8$

Étape 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Étape 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{- 8} [\begin{array}{c} - 2 & - 1 \\ 2 & 5 \end{array}]$

Étape 5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{8} [\begin{array}{c} - 2 & - 1 \\ 2 & 5 \end{array}]$

Étape 6

Multipliez $- \frac{1}{8}$ par chaque élément de la matrice.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{8} \cdot - 2 & - \frac{1}{8} \cdot - 1 \\ - \frac{1}{8} \cdot 2 & - \frac{1}{8} \cdot 5 \end{array}]$

Étape 7

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{8}$ dans le numérateur.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{8} \cdot - 2 & - \frac{1}{8} \cdot - 1 \\ - \frac{1}{8} \cdot 2 & - \frac{1}{8} \cdot 5 \end{array}]$

Étape 7.1.2

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{2 (4)} \cdot - 2 & - \frac{1}{8} \cdot - 1 \\ - \frac{1}{8} \cdot 2 & - \frac{1}{8} \cdot 5 \end{array}]$

Étape 7.1.3

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{2 \cdot 4} \cdot (2 \cdot - 1) & - \frac{1}{8} \cdot - 1 \\ - \frac{1}{8} \cdot 2 & - \frac{1}{8} \cdot 5 \end{array}]$

Étape 7.1.4

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{2 \cdot 4} \cdot (2 \cdot - 1) & - \frac{1}{8} \cdot - 1 \\ - \frac{1}{8} \cdot 2 & - \frac{1}{8} \cdot 5 \end{array}]$

Étape 7.1.5

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{4} \cdot - 1 & - \frac{1}{8} \cdot - 1 \\ - \frac{1}{8} \cdot 2 & - \frac{1}{8} \cdot 5 \end{array}]$

Étape 7.2

Associez $\frac{- 1}{4}$ et $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- - 1}{4} & - \frac{1}{8} \cdot - 1 \\ - \frac{1}{8} \cdot 2 & - \frac{1}{8} \cdot 5 \end{array}]$

Étape 7.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & - \frac{1}{8} \cdot - 1 \\ - \frac{1}{8} \cdot 2 & - \frac{1}{8} \cdot 5 \end{array}]$

Étape 7.4

Multipliez $- \frac{1}{8} \cdot - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & 1 (\frac{1}{8}) \\ - \frac{1}{8} \cdot 2 & - \frac{1}{8} \cdot 5 \end{array}]$

Étape 7.4.2

Multipliez $\frac{1}{8}$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & \frac{1}{8} \\ - \frac{1}{8} \cdot 2 & - \frac{1}{8} \cdot 5 \end{array}]$

Étape 7.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{8}$ dans le numérateur.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & \frac{1}{8} \\ \frac{- 1}{8} \cdot 2 & - \frac{1}{8} \cdot 5 \end{array}]$

Étape 7.5.2

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & \frac{1}{8} \\ \frac{- 1}{2 (4)} \cdot 2 & - \frac{1}{8} \cdot 5 \end{array}]$

Étape 7.5.3

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & \frac{1}{8} \\ \frac{- 1}{2 \cdot 4} \cdot 2 & - \frac{1}{8} \cdot 5 \end{array}]$

Étape 7.5.4

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & \frac{1}{8} \\ \frac{- 1}{4} & - \frac{1}{8} \cdot 5 \end{array}]$

Étape 7.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & \frac{1}{8} \\ - \frac{1}{4} & - \frac{1}{8} \cdot 5 \end{array}]$

Étape 7.7

Multipliez $- \frac{1}{8} \cdot 5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.7.1

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & \frac{1}{8} \\ - \frac{1}{4} & - 5 (\frac{1}{8}) \end{array}]$

Étape 7.7.2

Associez $- 5$ et $\frac{1}{8}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & \frac{1}{8} \\ - \frac{1}{4} & \frac{- 5}{8} \end{array}]$

Étape 7.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & \frac{1}{8} \\ - \frac{1}{4} & - \frac{5}{8} \end{array}]$