Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{3 x^{2}}{\sqrt{x^{3} + 8}} d x$

Étape 1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$3 \int \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{3} + 8}} d x$

Étape 2

Laissez $u = x^{3} + 8$ . Alors $d u = 3 x^{2} d x$ , donc $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.1

Laissez $u = x^{3} + 8$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $x^{3} + 8$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} + 8]$

Étape 2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} + 8$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 2.1.4

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 x^{2} + 0$

Étape 2.1.5

Additionnez $3 x^{2}$ et $0$ .

$3 x^{2}$

Étape 2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$3 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3} d u$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{u}}$ par $\frac{1}{3}$ .

$3 \int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 3} d u$

Étape 3.2

Déplacez $3$ à gauche de $\sqrt{u}$ .

$3 \int \frac{1}{3 \sqrt{u}} d u$

Étape 4

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$3 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Étape 5

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.1

Simplifiez

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Étape 5.1.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$\frac{3}{3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Étape 5.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3}{3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Étape 5.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$1 \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Étape 5.1.3

Multipliez $\int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$ par $1$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Étape 5.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 5.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Étape 5.2.2

Retirez $u^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Étape 5.2.3

Multipliez les exposants dans ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 5.2.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Étape 5.2.3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$\int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Étape 5.2.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{3} + 8$ .

$2 {(x^{3} + 8)}^{\frac{1}{2}} + C$