Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{2} (\frac{4}{5} t^{3} - \frac{3}{4} t^{2} + \frac{2}{5} t) d t$

Étape 1

Supprimez les parenthèses.

$\int_{0}^{2} \frac{4}{5} t^{3} - \frac{3}{4} t^{2} + \frac{2}{5} t d t$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{0}^{2} \frac{4}{5} t^{3} d t + \int_{0}^{2} - \frac{3}{4} t^{2} d t + \int_{0}^{2} \frac{2}{5} t d t$

Étape 3

Comme $\frac{4}{5}$ est constant par rapport à $t$ , placez $\frac{4}{5}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{4}{5} \int_{0}^{2} t^{3} d t + \int_{0}^{2} - \frac{3}{4} t^{2} d t + \int_{0}^{2} \frac{2}{5} t d t$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t^{3}$ par rapport à $t$ est $\frac{1}{4} t^{4}$ .

$\frac{4}{5} \frac{1}{4} t^{4}]_{0}^{2} + \int_{0}^{2} - \frac{3}{4} t^{2} d t + \int_{0}^{2} \frac{2}{5} t d t$

Étape 5

Comme $- \frac{3}{4}$ est constant par rapport à $t$ , placez $- \frac{3}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{4}{5} \frac{1}{4} t^{4}]_{0}^{2} - \frac{3}{4} \int_{0}^{2} t^{2} d t + \int_{0}^{2} \frac{2}{5} t d t$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t^{2}$ par rapport à $t$ est $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$\frac{4}{5} \frac{1}{4} t^{4}]_{0}^{2} - \frac{3}{4} \frac{1}{3} t^{3}]_{0}^{2} + \int_{0}^{2} \frac{2}{5} t d t$

Étape 7

Comme $\frac{2}{5}$ est constant par rapport à $t$ , placez $\frac{2}{5}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{4}{5} \frac{1}{4} t^{4}]_{0}^{2} - \frac{3}{4} \frac{1}{3} t^{3}]_{0}^{2} + \frac{2}{5} \int_{0}^{2} t d t$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t$ par rapport à $t$ est $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$\frac{4}{5} \frac{1}{4} t^{4}]_{0}^{2} - \frac{3}{4} \frac{1}{3} t^{3}]_{0}^{2} + \frac{2}{5} \frac{1}{2} t^{2}]_{0}^{2}$

Étape 9

Remplacez et simplifiez.

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Étape 9.1

Évaluez $\frac{1}{4} t^{4}$ sur $2$ et sur $0$ .

$\frac{4}{5} ((\frac{1}{4} \cdot 2^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{3}{4} \frac{1}{3} t^{3}]_{0}^{2} + \frac{2}{5} \frac{1}{2} t^{2}]_{0}^{2}$

Étape 9.2

Évaluez $\frac{1}{3} t^{3}$ sur $2$ et sur $0$ .

$\frac{4}{5} (\frac{1}{4} \cdot 2^{4} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{3}{4} (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{2}{5} \frac{1}{2} t^{2}]_{0}^{2}$

Étape 9.3

Évaluez $\frac{1}{2} t^{2}$ sur $2$ et sur $0$ .

$\frac{4}{5} (\frac{1}{4} \cdot 2^{4} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{3}{4} (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 9.4

Simplifiez

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Étape 9.4.1

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$\frac{4}{5} (\frac{1}{4} \cdot 16 - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{3}{4} (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 9.4.2

Associez $\frac{1}{4}$ et $16$ .

$\frac{4}{5} (\frac{16}{4} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{3}{4} (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 9.4.3

Annulez le facteur commun à $16$ et $4$ .

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Étape 9.4.3.1

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$\frac{4}{5} (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{3}{4} (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 9.4.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.4.3.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$\frac{4}{5} (\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{3}{4} (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 9.4.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4}{5} (\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{3}{4} (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 9.4.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4}{5} (\frac{4}{1} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{3}{4} (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 9.4.3.2.4

Divisez $4$ par $1$ .

$\frac{4}{5} (4 - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{3}{4} (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 9.4.4

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{4}{5} (4 - \frac{1}{4} \cdot 0) - \frac{3}{4} (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 9.4.5

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$\frac{4}{5} (4 + 0 (\frac{1}{4})) - \frac{3}{4} (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 9.4.6

Multipliez $0$ par $\frac{1}{4}$ .

$\frac{4}{5} (4 + 0) - \frac{3}{4} (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 9.4.7

Additionnez $4$ et $0$ .

$\frac{4}{5} \cdot 4 - \frac{3}{4} (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 9.4.8

Associez $\frac{4}{5}$ et $4$ .

$\frac{4 \cdot 4}{5} - \frac{3}{4} (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 9.4.9

Multipliez $4$ par $4$ .

$\frac{16}{5} - \frac{3}{4} (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 9.4.10

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\frac{16}{5} - \frac{3}{4} (\frac{1}{3} \cdot 8 - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 9.4.11

Associez $\frac{1}{3}$ et $8$ .

$\frac{16}{5} - \frac{3}{4} (\frac{8}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 9.4.12

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{16}{5} - \frac{3}{4} (\frac{8}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0) + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 9.4.13

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$\frac{16}{5} - \frac{3}{4} (\frac{8}{3} + 0 (\frac{1}{3})) + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 9.4.14

Multipliez $0$ par $\frac{1}{3}$ .

$\frac{16}{5} - \frac{3}{4} (\frac{8}{3} + 0) + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 9.4.15

Additionnez $\frac{8}{3}$ et $0$ .

$\frac{16}{5} - \frac{3}{4} \cdot \frac{8}{3} + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 9.4.16

Multipliez $\frac{8}{3}$ par $\frac{3}{4}$ .

$\frac{16}{5} - \frac{8 \cdot 3}{3 \cdot 4} + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 9.4.17

Multipliez $8$ par $3$ .

$\frac{16}{5} - \frac{24}{3 \cdot 4} + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 9.4.18

Multipliez $3$ par $4$ .

$\frac{16}{5} - \frac{24}{12} + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 9.4.19

Annulez le facteur commun à $24$ et $12$ .

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Étape 9.4.19.1

Factorisez $12$ à partir de $24$ .

$\frac{16}{5} - \frac{12 \cdot 2}{12} + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 9.4.19.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.4.19.2.1

Factorisez $12$ à partir de $12$ .

$\frac{16}{5} - \frac{12 \cdot 2}{12 (1)} + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 9.4.19.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{16}{5} - \frac{12 \cdot 2}{12 \cdot 1} + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 9.4.19.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{16}{5} - \frac{2}{1} + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 9.4.19.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$\frac{16}{5} - 1 \cdot 2 + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 9.4.20

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{16}{5} - 2 + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 9.4.21

Pour écrire $- 2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$\frac{16}{5} - 2 \cdot \frac{5}{5} + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 9.4.22

Associez $- 2$ et $\frac{5}{5}$ .

$\frac{16}{5} + \frac{- 2 \cdot 5}{5} + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 9.4.23

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{16 - 2 \cdot 5}{5} + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 9.4.24

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.4.24.1

Multipliez $- 2$ par $5$ .

$\frac{16 - 10}{5} + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 9.4.24.2

Soustrayez $10$ de $16$ .

$\frac{6}{5} + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 9.4.25

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{6}{5} + \frac{2}{5} (\frac{1}{2} \cdot 4 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 9.4.26

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$\frac{6}{5} + \frac{2}{5} (\frac{4}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 9.4.27

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 9.4.27.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{6}{5} + \frac{2}{5} (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 9.4.27.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.4.27.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{6}{5} + \frac{2}{5} (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 9.4.27.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{6}{5} + \frac{2}{5} (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 9.4.27.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{6}{5} + \frac{2}{5} (\frac{2}{1} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 9.4.27.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$\frac{6}{5} + \frac{2}{5} (2 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 9.4.28

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{6}{5} + \frac{2}{5} (2 - \frac{1}{2} \cdot 0)$

Étape 9.4.29

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$\frac{6}{5} + \frac{2}{5} (2 + 0 (\frac{1}{2}))$

Étape 9.4.30

Multipliez $0$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{6}{5} + \frac{2}{5} (2 + 0)$

Étape 9.4.31

Additionnez $2$ et $0$ .

$\frac{6}{5} + \frac{2}{5} \cdot 2$

Étape 9.4.32

Associez $\frac{2}{5}$ et $2$ .

$\frac{6}{5} + \frac{2 \cdot 2}{5}$

Étape 9.4.33

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{6}{5} + \frac{4}{5}$

Étape 9.4.34

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{6 + 4}{5}$

Étape 9.4.35

Additionnez $6$ et $4$ .

$\frac{10}{5}$

Étape 9.4.36

Annulez le facteur commun à $10$ et $5$ .

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Étape 9.4.36.1

Factorisez $5$ à partir de $10$ .

$\frac{5 \cdot 2}{5}$

Étape 9.4.36.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.4.36.2.1

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$\frac{5 \cdot 2}{5 (1)}$

Étape 9.4.36.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 \cdot 2}{5 \cdot 1}$

Étape 9.4.36.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{1}$

Étape 9.4.36.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 10