Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{\sin (x) + \cos (x)}{e^{x}}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{\sin (x) + \cos (x)}{e^{x}})$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = \sin (x) + \cos (x)$ et $g (x) = e^{x}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)] - (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(e^{x})}^{2}}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de la somme.

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Étape 3.2.1

Multipliez les exposants dans ${(e^{x})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)] - (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{x \cdot 2}}$

Étape 3.2.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)] - (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Étape 3.2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\sin (x) + \cos (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{e^{x} (\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]) - (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Étape 3.3

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$\frac{e^{x} (\cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)]) - (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Étape 3.4

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$\frac{e^{x} (\cos (x) - \sin (x)) - (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Étape 3.5

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{e^{x} (\cos (x) - \sin (x)) - (\sin (x) + \cos (x)) e^{x}}{e^{2 x}}$

Étape 3.6

Simplifiez

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Étape 3.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{e^{x} \cos (x) + e^{x} (- \sin (x)) - (\sin (x) + \cos (x)) e^{x}}{e^{2 x}}$

Étape 3.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{e^{x} \cos (x) + e^{x} (- \sin (x)) + (- \sin (x) - \cos (x)) e^{x}}{e^{2 x}}$

Étape 3.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{e^{x} \cos (x) + e^{x} (- \sin (x)) - \sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}}{e^{2 x}}$

Étape 3.6.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.6.4.1

Associez les termes opposés dans $e^{x} \cos (x) + e^{x} (- \sin (x)) - \sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}$ .

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Étape 3.6.4.1.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $e^{x} \cos (x)$ et $- \cos (x) e^{x}$ .

$\frac{e^{x} \cos (x) + e^{x} (- \sin (x)) - \sin (x) e^{x} - e^{x} \cos (x)}{e^{2 x}}$

Étape 3.6.4.1.2

Soustrayez $e^{x} \cos (x)$ de $e^{x} \cos (x)$ .

$\frac{e^{x} (- \sin (x)) - \sin (x) e^{x} + 0}{e^{2 x}}$

Étape 3.6.4.1.3

Additionnez $e^{x} (- \sin (x)) - \sin (x) e^{x}$ et $0$ .

$\frac{e^{x} (- \sin (x)) - \sin (x) e^{x}}{e^{2 x}}$

Étape 3.6.4.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{- e^{x} \sin (x) - \sin (x) e^{x}}{e^{2 x}}$

Étape 3.6.4.3

Soustrayez $\sin (x) e^{x}$ de $- e^{x} \sin (x)$ .

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Étape 3.6.4.3.1

Déplacez $\sin (x)$ .

$\frac{- e^{x} \sin (x) - 1 e^{x} \sin (x)}{e^{2 x}}$

Étape 3.6.4.3.2

Soustrayez $e^{x} \sin (x)$ de $- e^{x} \sin (x)$ .

$\frac{- 2 e^{x} \sin (x)}{e^{2 x}}$

Étape 3.6.5

Annulez le facteur commun à $e^{x}$ et $e^{2 x}$ .

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Étape 3.6.5.1

Factorisez $e^{2 x}$ à partir de $- 2 e^{x} \sin (x)$ .

$\frac{e^{2 x} (- 2 e^{- x} \sin (x))}{e^{2 x}}$

Étape 3.6.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.6.5.2.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{e^{2 x} (- 2 e^{- x} \sin (x))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Étape 3.6.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{2 x} (- 2 e^{- x} \sin (x))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Étape 3.6.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 2 e^{- x} \sin (x)}{1}$

Étape 3.6.5.2.4

Divisez $- 2 e^{- x} \sin (x)$ par $1$ .

$- 2 e^{- x} \sin (x)$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = - 2 e^{- x} \sin (x)$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - 2 e^{- x} \sin (x)$