Calcul infinitésimal Exemples

$y = \ln (\cos (x))$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (\cos (x)))$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = \cos (x)$ .

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Étape 3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 3.1.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\cos (x)$ .

$\frac{1}{\cos (x)} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 3.2

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$\sec (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 3.3

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$\sec (x) (- \sin (x))$

Étape 3.4

Simplifiez

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Étape 3.4.1

Réorganisez les facteurs de $\sec (x) (- \sin (x))$ .

$- \sec (x) \sin (x)$

Étape 3.4.2

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$- \frac{1}{\cos (x)} \sin (x)$

Étape 3.4.3

Associez $\sin (x)$ et $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 3.4.4

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$- \tan (x)$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = - \tan (x)$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \tan (x)$