Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{2} \sin (2 x)$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{2} \sin (2 x))$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \sin (2 x)$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.2.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$x^{2} (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$x^{2} (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.3

Différenciez.

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Étape 3.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{2} (\cos (2 x) (2 \cdot 1)) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.3.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.3.3.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$x^{2} (\cos (2 x) \cdot 2) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.3.3.2

Déplacez $2$ à gauche de $\cos (2 x)$ .

$x^{2} (2 \cdot \cos (2 x)) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x^{2} (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x) (2 x)$

Étape 3.3.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 x^{2} \cos (2 x) + 2 x \sin (2 x)$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = 2 x^{2} \cos (2 x) + 2 x \sin (2 x)$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 x^{2} \cos (2 x) + 2 x \sin (2 x)$