Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x + \frac{9}{x}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + \frac{9}{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{x}]$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\frac{9}{x}]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{9}{x}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{9}{x}$ par rapport à $x$ est $9 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$1 + 9 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 1.1.2.2

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$1 + 9 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Étape 1.1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$1 + 9 (- x^{- 2})$

Étape 1.1.2.4

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$1 - 9 x^{- 2}$

Étape 1.1.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 - 9 \frac{1}{x^{2}}$

Étape 1.1.4

Simplifiez

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Étape 1.1.4.1

Associez des termes.

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Étape 1.1.4.1.1

Associez $- 9$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$1 + \frac{- 9}{x^{2}}$

Étape 1.1.4.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$1 - \frac{9}{x^{2}}$

Étape 1.1.4.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = - \frac{9}{x^{2}} + 1$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{9}{x^{2}} + 1$ .

$- \frac{9}{x^{2}} + 1$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{9}{x^{2}} + 1 = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \frac{9}{x^{2}} + 1 = 0$

Étape 2.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- \frac{9}{x^{2}} = - 1$

Étape 2.3

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 2.3.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$x^{2}, 1$

Étape 2.3.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$x^{2}$

Étape 2.4

Multiplier chaque terme dans $- \frac{9}{x^{2}} = - 1$ par $x^{2}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 2.4.1

Multipliez chaque terme dans $- \frac{9}{x^{2}} = - 1$ par $x^{2}$ .

$- \frac{9}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

Étape 2.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 2.4.2.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{9}{x^{2}}$ dans le numérateur.

$\frac{- 9}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

Étape 2.4.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 9}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

Étape 2.4.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$- 9 = - x^{2}$

Étape 2.5

Résolvez l’équation.

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Étape 2.5.1

Réécrivez l’équation comme $- x^{2} = - 9$ .

$- x^{2} = - 9$

Étape 2.5.2

Divisez chaque terme dans $- x^{2} = - 9$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 2.5.2.1

Divisez chaque terme dans $- x^{2} = - 9$ par $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 9}{- 1}$

Étape 2.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.5.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 9}{- 1}$

Étape 2.5.2.2.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{- 9}{- 1}$

Étape 2.5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.5.2.3.1

Divisez $- 9$ par $- 1$ .

$x^{2} = 9$

Étape 2.5.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{9}$

Étape 2.5.4

Simplifiez $\pm \sqrt{9}$ .

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Étape 2.5.4.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Étape 2.5.4.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 3$

Étape 2.5.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.5.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 3$

Étape 2.5.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 3$

Étape 2.5.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 3, - 3$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{9}{x^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{2} = 0$

Étape 3.2

Résolvez $x$ .

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Étape 3.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 3.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 3.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 3.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 3.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 4

Évaluez $x + \frac{9}{x}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = 3$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $3$ .

$(3) + \frac{9}{3}$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Divisez $9$ par $3$ .

$3 + 3$

Étape 4.1.2.2

Additionnez $3$ et $3$ .

$6$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = - 3$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $- 3$ .

$(- 3) + \frac{9}{- 3}$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Divisez $9$ par $- 3$ .

$- 3 - 3$

Étape 4.2.2.2

Soustrayez $3$ de $- 3$ .

$- 6$

Étape 4.3

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$(0) + \frac{9}{0}$

Étape 4.3.2

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

Étape 4.4

Indiquez tous les points.

$(3, 6), (- 3, - 6)$

Étape 5