Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{2} + x - 12$ ; $[0, 24]$

Étape 1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 2

$f (x)$ est continu sur $[0, 24]$ .

$f (x)$ est continu

Étape 3

La valeur moyenne de la fonction $f$ sur l’intervalle $[a, b]$ est définie comme $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Étape 4

Remplacez les valeurs réelles dans la formule pour la valeur moyenne d’une fonction.

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\int_{0}^{24} x^{2} + x - 12 d x)$

Étape 5

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\int_{0}^{24} x^{2} d x + \int_{0}^{24} x d x + \int_{0}^{24} - 12 d x)$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{24} + \int_{0}^{24} x d x + \int_{0}^{24} - 12 d x)$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{24} + \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{24} + \int_{0}^{24} - 12 d x)$

Étape 8

Appliquez la règle de la constante.

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{24} + \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{24} + - 12 x]_{0}^{24})$

Étape 9

Simplifiez la réponse.

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Étape 9.1

Simplifiez

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Étape 9.1.1

Associez $\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{24}$ et $\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{24}$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{24} + - 12 x]_{0}^{24})$

Étape 9.1.2

Associez $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{24}$ et $- 12 x]_{0}^{24}$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - 12 x]_{0}^{24})$

Étape 9.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 9.2.1

Évaluez $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - 12 x$ sur $24$ et sur $0$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} ((\frac{1}{3} \cdot 24^{3} + \frac{1}{2} \cdot 24^{2} - 12 \cdot 24) - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0))$

Étape 9.2.2

Simplifiez

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Étape 9.2.2.1

Élevez $24$ à la puissance $3$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\frac{1}{3} \cdot 13824 + \frac{1}{2} \cdot 24^{2} - 12 \cdot 24 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0))$

Étape 9.2.2.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $13824$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\frac{13824}{3} + \frac{1}{2} \cdot 24^{2} - 12 \cdot 24 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0))$

Étape 9.2.2.3

Annulez le facteur commun à $13824$ et $3$ .

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Étape 9.2.2.3.1

Factorisez $3$ à partir de $13824$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\frac{3 \cdot 4608}{3} + \frac{1}{2} \cdot 24^{2} - 12 \cdot 24 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0))$

Étape 9.2.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.2.2.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\frac{3 \cdot 4608}{3 (1)} + \frac{1}{2} \cdot 24^{2} - 12 \cdot 24 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0))$

Étape 9.2.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\frac{3 \cdot 4608}{3 \cdot 1} + \frac{1}{2} \cdot 24^{2} - 12 \cdot 24 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0))$

Étape 9.2.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\frac{4608}{1} + \frac{1}{2} \cdot 24^{2} - 12 \cdot 24 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0))$

Étape 9.2.2.3.2.4

Divisez $4608$ par $1$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (4608 + \frac{1}{2} \cdot 24^{2} - 12 \cdot 24 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0))$

Étape 9.2.2.4

Élevez $24$ à la puissance $2$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (4608 + \frac{1}{2} \cdot 576 - 12 \cdot 24 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0))$

Étape 9.2.2.5

Associez $\frac{1}{2}$ et $576$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (4608 + \frac{576}{2} - 12 \cdot 24 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0))$

Étape 9.2.2.6

Annulez le facteur commun à $576$ et $2$ .

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Étape 9.2.2.6.1

Factorisez $2$ à partir de $576$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (4608 + \frac{2 \cdot 288}{2} - 12 \cdot 24 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0))$

Étape 9.2.2.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.2.2.6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (4608 + \frac{2 \cdot 288}{2 (1)} - 12 \cdot 24 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0))$

Étape 9.2.2.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (4608 + \frac{2 \cdot 288}{2 \cdot 1} - 12 \cdot 24 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0))$

Étape 9.2.2.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (4608 + \frac{288}{1} - 12 \cdot 24 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0))$

Étape 9.2.2.6.2.4

Divisez $288$ par $1$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (4608 + 288 - 12 \cdot 24 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0))$

Étape 9.2.2.7

Additionnez $4608$ et $288$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (4896 - 12 \cdot 24 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0))$

Étape 9.2.2.8

Multipliez $- 12$ par $24$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (4896 - 288 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0))$

Étape 9.2.2.9

Soustrayez $288$ de $4896$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (4608 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0))$

Étape 9.2.2.10

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (4608 - (\frac{1}{3} \cdot 0 + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0))$

Étape 9.2.2.11

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $0$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (4608 - (0 + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0))$

Étape 9.2.2.12

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (4608 - (0 + \frac{1}{2} \cdot 0 - 12 \cdot 0))$

Étape 9.2.2.13

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $0$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (4608 - (0 + 0 - 12 \cdot 0))$

Étape 9.2.2.14

Additionnez $0$ et $0$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (4608 - (0 - 12 \cdot 0))$

Étape 9.2.2.15

Multipliez $- 12$ par $0$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (4608 - (0 + 0))$

Étape 9.2.2.16

Additionnez $0$ et $0$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (4608 - 0)$

Étape 9.2.2.17

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (4608 + 0)$

Étape 9.2.2.18

Additionnez $4608$ et $0$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (4608)$

Étape 10

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 10.1

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$A (x) = \frac{1}{24 + 0} \cdot 4608$

Étape 10.2

Additionnez $24$ et $0$ .

$A (x) = \frac{1}{24} \cdot 4608$

Étape 11

Annulez le facteur commun de $24$ .

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Étape 11.1

Factorisez $24$ à partir de $4608$ .

$A (x) = \frac{1}{24} \cdot (24 (192))$

Étape 11.2

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{24} \cdot (24 \cdot 192)$

Étape 11.3

Réécrivez l’expression.

$A (x) = 192$

Étape 12