Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{2 x + 5}{3 x - 4}$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = \frac{2 y + 5}{3 y - 4}$

Étape 2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Multipliez l’équation par $3 y - 4$ .

$(3 y - 4) (x) = (\frac{2 y + 5}{3 y - 4}) (3 y - 4)$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 y x - 4 x = (\frac{2 y + 5}{3 y - 4}) (3 y - 4)$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Annulez le facteur commun de $3 y - 4$ .

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Étape 2.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$3 y x - 4 x = \frac{2 y + 5}{3 y - 4} (3 y - 4)$

Étape 2.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$3 y x - 4 x = 2 y + 5$

Étape 2.4

Résolvez $y$ .

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Étape 2.4.1

Soustrayez $2 y$ des deux côtés de l’équation.

$3 y x - 4 x - 2 y = 5$

Étape 2.4.2

Ajoutez $4 x$ aux deux côtés de l’équation.

$3 y x - 2 y = 5 + 4 x$

Étape 2.4.3

Factorisez $y$ à partir de $3 y x - 2 y$ .

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Étape 2.4.3.1

Factorisez $y$ à partir de $3 y x$ .

$y (3 x) - 2 y = 5 + 4 x$

Étape 2.4.3.2

Factorisez $y$ à partir de $- 2 y$ .

$y (3 x) + y \cdot - 2 = 5 + 4 x$

Étape 2.4.3.3

Factorisez $y$ à partir de $y (3 x) + y \cdot - 2$ .

$y (3 x - 2) = 5 + 4 x$

Étape 2.4.4

Divisez chaque terme dans $y (3 x - 2) = 5 + 4 x$ par $3 x - 2$ et simplifiez.

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Étape 2.4.4.1

Divisez chaque terme dans $y (3 x - 2) = 5 + 4 x$ par $3 x - 2$ .

$\frac{y (3 x - 2)}{3 x - 2} = \frac{5}{3 x - 2} + \frac{4 x}{3 x - 2}$

Étape 2.4.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.4.2.1

Annulez le facteur commun de $3 x - 2$ .

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Étape 2.4.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y (3 x - 2)}{3 x - 2} = \frac{5}{3 x - 2} + \frac{4 x}{3 x - 2}$

Étape 2.4.4.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{5}{3 x - 2} + \frac{4 x}{3 x - 2}$

Étape 2.4.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.4.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{5 + 4 x}{3 x - 2}$

Étape 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{5 + 4 x}{3 x - 2}$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{5 + 4 x}{3 x - 2}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{2 x + 5}{3 x - 4}$ .

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Étape 4.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 4.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 4.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 4.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\frac{2 x + 5}{3 x - 4})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 5}{3 x - 4}) = \frac{5 + 4 (\frac{2 x + 5}{3 x - 4})}{3 (\frac{2 x + 5}{3 x - 4}) - 2}$

Étape 4.2.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.3.1

Associez $4$ et $\frac{2 x + 5}{3 x - 4}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 5}{3 x - 4}) = \frac{5 + \frac{4 (2 x + 5)}{3 x - 4}}{3 (\frac{2 x + 5}{3 x - 4}) - 2}$

Étape 4.2.3.2

Pour écrire $5$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3 x - 4}{3 x - 4}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 5}{3 x - 4}) = \frac{\frac{5 (3 x - 4)}{3 x - 4} + \frac{4 (2 x + 5)}{3 x - 4}}{3 (\frac{2 x + 5}{3 x - 4}) - 2}$

Étape 4.2.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 5}{3 x - 4}) = \frac{\frac{5 (3 x - 4) + 4 (2 x + 5)}{3 x - 4}}{3 (\frac{2 x + 5}{3 x - 4}) - 2}$

Étape 4.2.3.4

Réécrivez $\frac{5 (3 x - 4) + 4 (2 x + 5)}{3 x - 4}$ en forme factorisée.

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Étape 4.2.3.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 5}{3 x - 4}) = \frac{\frac{5 (3 x) + 5 \cdot - 4 + 4 (2 x + 5)}{3 x - 4}}{3 (\frac{2 x + 5}{3 x - 4}) - 2}$

Étape 4.2.3.4.2

Multipliez $3$ par $5$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 5}{3 x - 4}) = \frac{\frac{15 x + 5 \cdot - 4 + 4 (2 x + 5)}{3 x - 4}}{3 (\frac{2 x + 5}{3 x - 4}) - 2}$

Étape 4.2.3.4.3

Multipliez $5$ par $- 4$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 5}{3 x - 4}) = \frac{\frac{15 x - 20 + 4 (2 x + 5)}{3 x - 4}}{3 (\frac{2 x + 5}{3 x - 4}) - 2}$

Étape 4.2.3.4.4

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 5}{3 x - 4}) = \frac{\frac{15 x - 20 + 4 (2 x) + 4 \cdot 5}{3 x - 4}}{3 (\frac{2 x + 5}{3 x - 4}) - 2}$

Étape 4.2.3.4.5

Multipliez $2$ par $4$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 5}{3 x - 4}) = \frac{\frac{15 x - 20 + 8 x + 4 \cdot 5}{3 x - 4}}{3 (\frac{2 x + 5}{3 x - 4}) - 2}$

Étape 4.2.3.4.6

Multipliez $4$ par $5$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 5}{3 x - 4}) = \frac{\frac{15 x - 20 + 8 x + 20}{3 x - 4}}{3 (\frac{2 x + 5}{3 x - 4}) - 2}$

Étape 4.2.3.4.7

Additionnez $15 x$ et $8 x$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 5}{3 x - 4}) = \frac{\frac{23 x - 20 + 20}{3 x - 4}}{3 (\frac{2 x + 5}{3 x - 4}) - 2}$

Étape 4.2.3.4.8

Additionnez $- 20$ et $20$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 5}{3 x - 4}) = \frac{\frac{23 x + 0}{3 x - 4}}{3 (\frac{2 x + 5}{3 x - 4}) - 2}$

Étape 4.2.3.4.9

Additionnez $23 x$ et $0$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 5}{3 x - 4}) = \frac{\frac{23 x}{3 x - 4}}{3 (\frac{2 x + 5}{3 x - 4}) - 2}$

Étape 4.2.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.2.4.1

Associez $3$ et $\frac{2 x + 5}{3 x - 4}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 5}{3 x - 4}) = \frac{\frac{23 x}{3 x - 4}}{\frac{3 (2 x + 5)}{3 x - 4} - 2}$

Étape 4.2.4.2

Pour écrire $- 2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3 x - 4}{3 x - 4}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 5}{3 x - 4}) = \frac{\frac{23 x}{3 x - 4}}{\frac{3 (2 x + 5)}{3 x - 4} - 2 \cdot \frac{3 x - 4}{3 x - 4}}$

Étape 4.2.4.3

Associez $- 2$ et $\frac{3 x - 4}{3 x - 4}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 5}{3 x - 4}) = \frac{\frac{23 x}{3 x - 4}}{\frac{3 (2 x + 5)}{3 x - 4} + \frac{- 2 (3 x - 4)}{3 x - 4}}$

Étape 4.2.4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 5}{3 x - 4}) = \frac{\frac{23 x}{3 x - 4}}{\frac{3 (2 x + 5) - 2 (3 x - 4)}{3 x - 4}}$

Étape 4.2.4.5

Réécrivez $\frac{3 (2 x + 5) - 2 (3 x - 4)}{3 x - 4}$ en forme factorisée.

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Étape 4.2.4.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 5}{3 x - 4}) = \frac{\frac{23 x}{3 x - 4}}{\frac{3 (2 x) + 3 \cdot 5 - 2 (3 x - 4)}{3 x - 4}}$

Étape 4.2.4.5.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 5}{3 x - 4}) = \frac{\frac{23 x}{3 x - 4}}{\frac{6 x + 3 \cdot 5 - 2 (3 x - 4)}{3 x - 4}}$

Étape 4.2.4.5.3

Multipliez $3$ par $5$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 5}{3 x - 4}) = \frac{\frac{23 x}{3 x - 4}}{\frac{6 x + 15 - 2 (3 x - 4)}{3 x - 4}}$

Étape 4.2.4.5.4

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 5}{3 x - 4}) = \frac{\frac{23 x}{3 x - 4}}{\frac{6 x + 15 - 2 (3 x) - 2 \cdot - 4}{3 x - 4}}$

Étape 4.2.4.5.5

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 5}{3 x - 4}) = \frac{\frac{23 x}{3 x - 4}}{\frac{6 x + 15 - 6 x - 2 \cdot - 4}{3 x - 4}}$

Étape 4.2.4.5.6

Multipliez $- 2$ par $- 4$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 5}{3 x - 4}) = \frac{\frac{23 x}{3 x - 4}}{\frac{6 x + 15 - 6 x + 8}{3 x - 4}}$

Étape 4.2.4.5.7

Soustrayez $6 x$ de $6 x$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 5}{3 x - 4}) = \frac{\frac{23 x}{3 x - 4}}{\frac{0 + 15 + 8}{3 x - 4}}$

Étape 4.2.4.5.8

Additionnez $0$ et $15$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 5}{3 x - 4}) = \frac{\frac{23 x}{3 x - 4}}{\frac{15 + 8}{3 x - 4}}$

Étape 4.2.4.5.9

Additionnez $15$ et $8$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 5}{3 x - 4}) = \frac{\frac{23 x}{3 x - 4}}{\frac{23}{3 x - 4}}$

Étape 4.2.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 5}{3 x - 4}) = \frac{23 x}{3 x - 4} \cdot \frac{3 x - 4}{23}$

Étape 4.2.6

Annulez le facteur commun de $23$ .

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Étape 4.2.6.1

Factorisez $23$ à partir de $23 x$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 5}{3 x - 4}) = \frac{23 (x)}{3 x - 4} \cdot \frac{3 x - 4}{23}$

Étape 4.2.6.2

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 5}{3 x - 4}) = \frac{23 x}{3 x - 4} \cdot \frac{3 x - 4}{23}$

Étape 4.2.6.3

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 5}{3 x - 4}) = \frac{x}{3 x - 4} \cdot (3 x - 4)$

Étape 4.2.7

Annulez le facteur commun de $3 x - 4$ .

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Étape 4.2.7.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 5}{3 x - 4}) = \frac{x}{3 x - 4} \cdot (3 x - 4)$

Étape 4.2.7.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 5}{3 x - 4}) = x$

Étape 4.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 4.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 4.3.2

Évaluez $f (\frac{5 + 4 x}{3 x - 2})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{5 + 4 x}{3 x - 2}) = \frac{2 (\frac{5 + 4 x}{3 x - 2}) + 5}{3 (\frac{5 + 4 x}{3 x - 2}) - 4}$

Étape 4.3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.3.1

Associez $2$ et $\frac{5 + 4 x}{3 x - 2}$ .

$f (\frac{5 + 4 x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{2 (5 + 4 x)}{3 x - 2} + 5}{3 (\frac{5 + 4 x}{3 x - 2}) - 4}$

Étape 4.3.3.2

Pour écrire $5$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3 x - 2}{3 x - 2}$ .

$f (\frac{5 + 4 x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{2 (5 + 4 x)}{3 x - 2} + \frac{5 (3 x - 2)}{3 x - 2}}{3 (\frac{5 + 4 x}{3 x - 2}) - 4}$

Étape 4.3.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{5 + 4 x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{2 (5 + 4 x) + 5 (3 x - 2)}{3 x - 2}}{3 (\frac{5 + 4 x}{3 x - 2}) - 4}$

Étape 4.3.3.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$f (\frac{5 + 4 x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{5 (3 x - 2) + 2 (5 + 4 x)}{3 x - 2}}{3 (\frac{5 + 4 x}{3 x - 2}) - 4}$

Étape 4.3.3.5

Réécrivez $\frac{5 (3 x - 2) + 2 (5 + 4 x)}{3 x - 2}$ en forme factorisée.

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Étape 4.3.3.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{5 + 4 x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{5 (3 x) + 5 \cdot - 2 + 2 (5 + 4 x)}{3 x - 2}}{3 (\frac{5 + 4 x}{3 x - 2}) - 4}$

Étape 4.3.3.5.2

Multipliez $3$ par $5$ .

$f (\frac{5 + 4 x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{15 x + 5 \cdot - 2 + 2 (5 + 4 x)}{3 x - 2}}{3 (\frac{5 + 4 x}{3 x - 2}) - 4}$

Étape 4.3.3.5.3

Multipliez $5$ par $- 2$ .

$f (\frac{5 + 4 x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{15 x - 10 + 2 (5 + 4 x)}{3 x - 2}}{3 (\frac{5 + 4 x}{3 x - 2}) - 4}$

Étape 4.3.3.5.4

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{5 + 4 x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{15 x - 10 + 2 \cdot 5 + 2 (4 x)}{3 x - 2}}{3 (\frac{5 + 4 x}{3 x - 2}) - 4}$

Étape 4.3.3.5.5

Multipliez $2$ par $5$ .

$f (\frac{5 + 4 x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{15 x - 10 + 10 + 2 (4 x)}{3 x - 2}}{3 (\frac{5 + 4 x}{3 x - 2}) - 4}$

Étape 4.3.3.5.6

Multipliez $4$ par $2$ .

$f (\frac{5 + 4 x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{15 x - 10 + 10 + 8 x}{3 x - 2}}{3 (\frac{5 + 4 x}{3 x - 2}) - 4}$

Étape 4.3.3.5.7

Additionnez $15 x$ et $8 x$ .

$f (\frac{5 + 4 x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{23 x - 10 + 10}{3 x - 2}}{3 (\frac{5 + 4 x}{3 x - 2}) - 4}$

Étape 4.3.3.5.8

Additionnez $- 10$ et $10$ .

$f (\frac{5 + 4 x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{23 x + 0}{3 x - 2}}{3 (\frac{5 + 4 x}{3 x - 2}) - 4}$

Étape 4.3.3.5.9

Additionnez $23 x$ et $0$ .

$f (\frac{5 + 4 x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{23 x}{3 x - 2}}{3 (\frac{5 + 4 x}{3 x - 2}) - 4}$

Étape 4.3.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.3.4.1

Associez $3$ et $\frac{5 + 4 x}{3 x - 2}$ .

$f (\frac{5 + 4 x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{23 x}{3 x - 2}}{\frac{3 (5 + 4 x)}{3 x - 2} - 4}$

Étape 4.3.4.2

Pour écrire $- 4$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3 x - 2}{3 x - 2}$ .

$f (\frac{5 + 4 x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{23 x}{3 x - 2}}{\frac{3 (5 + 4 x)}{3 x - 2} - 4 \cdot \frac{3 x - 2}{3 x - 2}}$

Étape 4.3.4.3

Associez $- 4$ et $\frac{3 x - 2}{3 x - 2}$ .

$f (\frac{5 + 4 x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{23 x}{3 x - 2}}{\frac{3 (5 + 4 x)}{3 x - 2} + \frac{- 4 (3 x - 2)}{3 x - 2}}$

Étape 4.3.4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{5 + 4 x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{23 x}{3 x - 2}}{\frac{3 (5 + 4 x) - 4 (3 x - 2)}{3 x - 2}}$

Étape 4.3.4.5

Réécrivez $\frac{3 (5 + 4 x) - 4 (3 x - 2)}{3 x - 2}$ en forme factorisée.

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Étape 4.3.4.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{5 + 4 x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{23 x}{3 x - 2}}{\frac{3 \cdot 5 + 3 (4 x) - 4 (3 x - 2)}{3 x - 2}}$

Étape 4.3.4.5.2

Multipliez $3$ par $5$ .

$f (\frac{5 + 4 x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{23 x}{3 x - 2}}{\frac{15 + 3 (4 x) - 4 (3 x - 2)}{3 x - 2}}$

Étape 4.3.4.5.3

Multipliez $4$ par $3$ .

$f (\frac{5 + 4 x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{23 x}{3 x - 2}}{\frac{15 + 12 x - 4 (3 x - 2)}{3 x - 2}}$

Étape 4.3.4.5.4

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{5 + 4 x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{23 x}{3 x - 2}}{\frac{15 + 12 x - 4 (3 x) - 4 \cdot - 2}{3 x - 2}}$

Étape 4.3.4.5.5

Multipliez $3$ par $- 4$ .

$f (\frac{5 + 4 x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{23 x}{3 x - 2}}{\frac{15 + 12 x - 12 x - 4 \cdot - 2}{3 x - 2}}$

Étape 4.3.4.5.6

Multipliez $- 4$ par $- 2$ .

$f (\frac{5 + 4 x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{23 x}{3 x - 2}}{\frac{15 + 12 x - 12 x + 8}{3 x - 2}}$

Étape 4.3.4.5.7

Additionnez $15$ et $8$ .

$f (\frac{5 + 4 x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{23 x}{3 x - 2}}{\frac{12 x - 12 x + 23}{3 x - 2}}$

Étape 4.3.4.5.8

Soustrayez $12 x$ de $12 x$ .

$f (\frac{5 + 4 x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{23 x}{3 x - 2}}{\frac{0 + 23}{3 x - 2}}$

Étape 4.3.4.5.9

Additionnez $0$ et $23$ .

$f (\frac{5 + 4 x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{23 x}{3 x - 2}}{\frac{23}{3 x - 2}}$

Étape 4.3.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (\frac{5 + 4 x}{3 x - 2}) = \frac{23 x}{3 x - 2} \cdot \frac{3 x - 2}{23}$

Étape 4.3.6

Annulez le facteur commun de $23$ .

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Étape 4.3.6.1

Factorisez $23$ à partir de $23 x$ .

$f (\frac{5 + 4 x}{3 x - 2}) = \frac{23 (x)}{3 x - 2} \cdot \frac{3 x - 2}{23}$

Étape 4.3.6.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{5 + 4 x}{3 x - 2}) = \frac{23 x}{3 x - 2} \cdot \frac{3 x - 2}{23}$

Étape 4.3.6.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{5 + 4 x}{3 x - 2}) = \frac{x}{3 x - 2} \cdot (3 x - 2)$

Étape 4.3.7

Annulez le facteur commun de $3 x - 2$ .

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Étape 4.3.7.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{5 + 4 x}{3 x - 2}) = \frac{x}{3 x - 2} \cdot (3 x - 2)$

Étape 4.3.7.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{5 + 4 x}{3 x - 2}) = x$

Étape 4.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{5 + 4 x}{3 x - 2}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{2 x + 5}{3 x - 4}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{5 + 4 x}{3 x - 2}$