Calcul infinitésimal Exemples

$y = f (x)$

Étape 1

Écrivez $y = f (x)$ comme une fonction.

$f (x) = f (x)$

Étape 2

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $f (x)$ est $\frac{d f}{d x}$ .

$\frac{d f}{d x}$

Étape 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun de $d$ .

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Étape 3.1.1

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{d f}{d x})$

Étape 3.1.2

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{f}{x})$

Étape 3.2

Comme $f$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{f}{x}$ par rapport à $x$ est $f \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$f'' (x) = f \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

Étape 3.3

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$f'' (x) = f \frac{d}{d x} (x^{- 1})$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$f'' (x) = f (- x^{- 2})$

Étape 3.5

Simplifiez

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Étape 3.5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = f (- \frac{1}{x^{2}})$

Étape 3.5.2

Associez $f$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{f}{x^{2}}$

Étape 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$\frac{d f}{d x} = 0$

Étape 5

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $f (x)$ est $\frac{d f}{d x}$ .

$f' (x) = \frac{d f}{d x}$

Étape 5.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d f}{d x}$ .

$\frac{d f}{d x}$

Étape 6

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{d f}{d x} = 0$ .

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Étape 6.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{d f}{d x} = 0$

Étape 6.2

Annulez le facteur commun de $d$ .

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Étape 6.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{d f}{d x} = 0$

Étape 6.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{f}{x} = 0$

Étape 6.3

Multipliez les deux côtés de l’équation par $x$ .

$f = x (0)$

Étape 6.4

Réécrivez l’équation comme $x (0) = f$ .

$x (0) = f$

Étape 6.5

Multipliez $x$ par $0$ .

$0 = f$

Étape 6.6

Réécrivez $0 = f$ de sorte que $f$ soit du côté gauche.

$f = 0$

Étape 6.7

La variable $x$ a été annulée.

Tous les nombres réels

Étape 7

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 7.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{d f}{d x}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$d x = 0$

Étape 7.2

Divisez chaque terme dans $d x = 0$ par $x$ et simplifiez.

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Étape 7.2.1

Divisez chaque terme dans $d x = 0$ par $x$ .

$\frac{d x}{x} = \frac{0}{x}$

Étape 7.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 7.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{d x}{x} = \frac{0}{x}$

Étape 7.2.2.1.2

Divisez $d$ par $1$ .

$d = \frac{0}{x}$

Étape 7.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.2.3.1

Divisez $0$ par $x$ .

$d = 0$

Étape 8

Points critiques à évaluer.

$x = A l \cdot l$ real $n u m b e r s, 0$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde sur $x = A l \cdot l (r e a l) (n u m b e r s)$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- \frac{f}{{(A l \cdot l (r e a l) (n u m b e r s))}^{2}}$

Étape 10

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 10.1

Associez les exposants.

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Étape 10.1.1

Élevez $l$ à la puissance $1$ .

$- \frac{f}{{(A (l^{1} l) r e a l n u m b e r s)}^{2}}$

Étape 10.1.2

Élevez $l$ à la puissance $1$ .

$- \frac{f}{{(A (l^{1} l^{1}) r e a l n u m b e r s)}^{2}}$

Étape 10.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{f}{{(A l^{1 + 1} r e a l n u m b e r s)}^{2}}$

Étape 10.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \frac{f}{{(A l^{2} r e a l n u m b e r s)}^{2}}$

Étape 10.1.5

Élevez $l$ à la puissance $1$ .

$- \frac{f}{{(A (l^{1} l^{2}) r e a n u m b e r s)}^{2}}$

Étape 10.1.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{f}{{(A l^{1 + 2} r e a n u m b e r s)}^{2}}$

Étape 10.1.7

Additionnez $1$ et $2$ .

$- \frac{f}{{(A l^{3} r e a n u m b e r s)}^{2}}$

Étape 10.1.8

Élevez $e$ à la puissance $1$ .

$- \frac{f}{{(A l^{3} r a n u m b (e^{1} e) r s)}^{2}}$

Étape 10.1.9

Élevez $e$ à la puissance $1$ .

$- \frac{f}{{(A l^{3} r a n u m b (e^{1} e^{1}) r s)}^{2}}$

Étape 10.1.10

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{f}{{(A l^{3} r a n u m b e^{1 + 1} r s)}^{2}}$

Étape 10.1.11

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \frac{f}{{(A l^{3} r a n u m b e^{2} r s)}^{2}}$

Étape 10.1.12

Élevez $r$ à la puissance $1$ .

$- \frac{f}{{(A l^{3} a n u m b e^{2} (r^{1} r) s)}^{2}}$

Étape 10.1.13

Élevez $r$ à la puissance $1$ .

$- \frac{f}{{(A l^{3} a n u m b e^{2} (r^{1} r^{1}) s)}^{2}}$

Étape 10.1.14

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{f}{{(A l^{3} a n u m b e^{2} r^{1 + 1} s)}^{2}}$

Étape 10.1.15

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \frac{f}{{(A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s)}^{2}}$

Étape 10.2

Appliquez la règle de produit à $A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s$ .

$- \frac{f}{{(A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2})}^{2} s^{2}}$

Étape 10.3

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 10.3.1

Appliquez la règle de produit à $A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2}$ .

$- \frac{f}{{(A l^{3} a n u m b e^{2})}^{2} {(r^{2})}^{2} s^{2}}$

Étape 10.3.2

Appliquez la règle de produit à $A l^{3} a n u m b e^{2}$ .

$- \frac{f}{{(A l^{3} a n u m b)}^{2} {(e^{2})}^{2} {(r^{2})}^{2} s^{2}}$

Étape 10.3.3

Appliquez la règle de produit à $A l^{3} a n u m b$ .

$- \frac{f}{{(A l^{3} a n u m)}^{2} b^{2} {(e^{2})}^{2} {(r^{2})}^{2} s^{2}}$

Étape 10.3.4

Appliquez la règle de produit à $A l^{3} a n u m$ .

$- \frac{f}{{(A l^{3} a n u)}^{2} m^{2} b^{2} {(e^{2})}^{2} {(r^{2})}^{2} s^{2}}$

Étape 10.3.5

Appliquez la règle de produit à $A l^{3} a n u$ .

$- \frac{f}{{(A l^{3} a n)}^{2} u^{2} m^{2} b^{2} {(e^{2})}^{2} {(r^{2})}^{2} s^{2}}$

Étape 10.3.6

Appliquez la règle de produit à $A l^{3} a n$ .

$- \frac{f}{{(A l^{3} a)}^{2} n^{2} u^{2} m^{2} b^{2} {(e^{2})}^{2} {(r^{2})}^{2} s^{2}}$

Étape 10.3.7

Appliquez la règle de produit à $A l^{3} a$ .

$- \frac{f}{{(A l^{3})}^{2} a^{2} n^{2} u^{2} m^{2} b^{2} {(e^{2})}^{2} {(r^{2})}^{2} s^{2}}$

Étape 10.3.8

Appliquez la règle de produit à $A l^{3}$ .

$- \frac{f}{A^{2} {(l^{3})}^{2} a^{2} n^{2} u^{2} m^{2} b^{2} {(e^{2})}^{2} {(r^{2})}^{2} s^{2}}$

Étape 10.4

Multipliez les exposants dans ${(l^{3})}^{2}$ .

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Étape 10.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{f}{A^{2} l^{3 \cdot 2} a^{2} n^{2} u^{2} m^{2} b^{2} {(e^{2})}^{2} {(r^{2})}^{2} s^{2}}$

Étape 10.4.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$- \frac{f}{A^{2} l^{6} a^{2} n^{2} u^{2} m^{2} b^{2} {(e^{2})}^{2} {(r^{2})}^{2} s^{2}}$

Étape 10.5

Multipliez les exposants dans ${(e^{2})}^{2}$ .

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Étape 10.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{f}{A^{2} l^{6} a^{2} n^{2} u^{2} m^{2} b^{2} e^{2 \cdot 2} {(r^{2})}^{2} s^{2}}$

Étape 10.5.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$- \frac{f}{A^{2} l^{6} a^{2} n^{2} u^{2} m^{2} b^{2} e^{4} {(r^{2})}^{2} s^{2}}$

Étape 10.6

Multipliez les exposants dans ${(r^{2})}^{2}$ .

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Étape 10.6.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{f}{A^{2} l^{6} a^{2} n^{2} u^{2} m^{2} b^{2} e^{4} r^{2 \cdot 2} s^{2}}$

Étape 10.6.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$- \frac{f}{A^{2} l^{6} a^{2} n^{2} u^{2} m^{2} b^{2} e^{4} r^{4} s^{2}}$

Étape 11

Comme le test de la dérivée première a échoué, il n’y a aucun extremum local.

Aucun extremum local

Étape 12