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Calcul infinitésimal Exemples
Étape 1
Écrivez comme une fonction.
Étape 2
Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de est .
Étape 3
Étape 3.1
Annulez le facteur commun de .
Étape 3.1.1
Annulez le facteur commun.
Étape 3.1.2
Réécrivez l’expression.
Étape 3.2
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 3.3
Réécrivez comme .
Étape 3.4
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 3.5
Simplifiez
Étape 3.5.1
Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif .
Étape 3.5.2
Associez et .
Étape 4
Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à et résolvez.
Étape 5
Étape 5.1
Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de est .
Étape 5.2
La dérivée première de par rapport à est .
Étape 6
Étape 6.1
Définissez la dérivée première égale à .
Étape 6.2
Annulez le facteur commun de .
Étape 6.2.1
Annulez le facteur commun.
Étape 6.2.2
Réécrivez l’expression.
Étape 6.3
Multipliez les deux côtés de l’équation par .
Étape 6.4
Réécrivez l’équation comme .
Étape 6.5
Multipliez par .
Étape 6.6
Réécrivez de sorte que soit du côté gauche.
Étape 6.7
La variable a été annulée.
Tous les nombres réels
Tous les nombres réels
Étape 7
Étape 7.1
Définissez le dénominateur dans égal à pour déterminer où l’expression est indéfinie.
Étape 7.2
Divisez chaque terme dans par et simplifiez.
Étape 7.2.1
Divisez chaque terme dans par .
Étape 7.2.2
Simplifiez le côté gauche.
Étape 7.2.2.1
Annulez le facteur commun de .
Étape 7.2.2.1.1
Annulez le facteur commun.
Étape 7.2.2.1.2
Divisez par .
Étape 7.2.3
Simplifiez le côté droit.
Étape 7.2.3.1
Divisez par .
Étape 8
Points critiques à évaluer.
real
Étape 9
Évaluez la dérivée seconde sur . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.
Étape 10
Étape 10.1
Associez les exposants.
Étape 10.1.1
Élevez à la puissance .
Étape 10.1.2
Élevez à la puissance .
Étape 10.1.3
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 10.1.4
Additionnez et .
Étape 10.1.5
Élevez à la puissance .
Étape 10.1.6
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 10.1.7
Additionnez et .
Étape 10.1.8
Élevez à la puissance .
Étape 10.1.9
Élevez à la puissance .
Étape 10.1.10
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 10.1.11
Additionnez et .
Étape 10.1.12
Élevez à la puissance .
Étape 10.1.13
Élevez à la puissance .
Étape 10.1.14
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 10.1.15
Additionnez et .
Étape 10.2
Appliquez la règle de produit à .
Étape 10.3
Utilisez la règle de puissance pour distribuer l’exposant.
Étape 10.3.1
Appliquez la règle de produit à .
Étape 10.3.2
Appliquez la règle de produit à .
Étape 10.3.3
Appliquez la règle de produit à .
Étape 10.3.4
Appliquez la règle de produit à .
Étape 10.3.5
Appliquez la règle de produit à .
Étape 10.3.6
Appliquez la règle de produit à .
Étape 10.3.7
Appliquez la règle de produit à .
Étape 10.3.8
Appliquez la règle de produit à .
Étape 10.4
Multipliez les exposants dans .
Étape 10.4.1
Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, .
Étape 10.4.2
Multipliez par .
Étape 10.5
Multipliez les exposants dans .
Étape 10.5.1
Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, .
Étape 10.5.2
Multipliez par .
Étape 10.6
Multipliez les exposants dans .
Étape 10.6.1
Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, .
Étape 10.6.2
Multipliez par .
Étape 11
Comme le test de la dérivée première a échoué, il n’y a aucun extremum local.
Aucun extremum local
Étape 12