Calcul infinitésimal Exemples

h (w) = \frac{5 w^{6} - w}{w}

$h (w) = \frac{5 w^{6} - w}{w}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que

$\frac{d}{d w} [\frac{f (w)}{g (w)}]$ est

$\frac{g (w) \frac{d}{d w} [f (w)] - f (w) \frac{d}{d w} [g (w)]}{{g (w)}^{2}}$ où

$f (w) = 5 w^{6} - w$ et

$g (w) = w$ .

$\frac{w \frac{d}{d w} [5 w^{6} - w] - (5 w^{6} - w) \frac{d}{d w} [w]}{w^{2}}$

Étape 2

Selon la règle de la somme, la dérivée de

$5 w^{6} - w$ par rapport à

$w$ est

$\frac{d}{d w} [5 w^{6}] + \frac{d}{d w} [- w]$ .

$\frac{w (\frac{d}{d w} [5 w^{6}] + \frac{d}{d w} [- w]) - (5 w^{6} - w) \frac{d}{d w} [w]}{w^{2}}$

Étape 3

Évaluez

$\frac{d}{d w} [5 w^{6}]$ .

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Étape 3.1

Comme

$5$ est constant par rapport à

$w$ , la dérivée de

$5 w^{6}$ par rapport à

$w$ est

$5 \frac{d}{d w} [w^{6}]$ .

$\frac{w (5 \frac{d}{d w} [w^{6}] + \frac{d}{d w} [- w]) - (5 w^{6} - w) \frac{d}{d w} [w]}{w^{2}}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que

$\frac{d}{d w} [w^{n}]$ est

$n w^{n - 1}$ où

$n = 6$ .

$\frac{w (5 (6 w^{5}) + \frac{d}{d w} [- w]) - (5 w^{6} - w) \frac{d}{d w} [w]}{w^{2}}$

Étape 3.3

Multipliez

$6$ par

$5$ .

$\frac{w (30 w^{5} + \frac{d}{d w} [- w]) - (5 w^{6} - w) \frac{d}{d w} [w]}{w^{2}}$

Étape 4

Évaluez

$\frac{d}{d w} [- w]$ .

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Étape 4.1

Comme

$- 1$ est constant par rapport à

$w$ , la dérivée de

$- w$ par rapport à

$w$ est

$- \frac{d}{d w} [w]$ .

$\frac{w (30 w^{5} - \frac{d}{d w} [w]) - (5 w^{6} - w) \frac{d}{d w} [w]}{w^{2}}$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que

$\frac{d}{d w} [w^{n}]$ est

$n w^{n - 1}$ où

$n = 1$ .

$\frac{w (30 w^{5} - 1 \cdot 1) - (5 w^{6} - w) \frac{d}{d w} [w]}{w^{2}}$

Étape 4.3

Multipliez

$- 1$ par

$1$ .

$\frac{w (30 w^{5} - 1) - (5 w^{6} - w) \frac{d}{d w} [w]}{w^{2}}$

Étape 5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que

$\frac{d}{d w} [w^{n}]$ est

$n w^{n - 1}$ où

$n = 1$ .

$\frac{w (30 w^{5} - 1) - (5 w^{6} - w) \cdot 1}{w^{2}}$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{w (30 w^{5}) + w \cdot - 1 - (5 w^{6} - w) \cdot 1}{w^{2}}$

Étape 6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{w (30 w^{5}) + w \cdot - 1 + (- (5 w^{6}) - - w) \cdot 1}{w^{2}}$

Étape 6.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{w (30 w^{5}) + w \cdot - 1 - (5 w^{6}) \cdot 1 - - w \cdot 1}{w^{2}}$

Étape 6.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.4.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{30 w \cdot w^{5} + w \cdot - 1 - (5 w^{6}) \cdot 1 - - w \cdot 1}{w^{2}}$

Étape 6.4.1.2

Multipliez

$w$ par

$w^{5}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.4.1.2.1

Déplacez

$w^{5}$ .

$\frac{30 (w^{5} w) + w \cdot - 1 - (5 w^{6}) \cdot 1 - - w \cdot 1}{w^{2}}$

Étape 6.4.1.2.2

Multipliez

$w^{5}$ par

$w$ .

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Étape 6.4.1.2.2.1

Élevez

$w$ à la puissance

$1$ .

$\frac{30 (w^{5} w^{1}) + w \cdot - 1 - (5 w^{6}) \cdot 1 - - w \cdot 1}{w^{2}}$

Étape 6.4.1.2.2.2

Utilisez la règle de puissance

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{30 w^{5 + 1} + w \cdot - 1 - (5 w^{6}) \cdot 1 - - w \cdot 1}{w^{2}}$

Étape 6.4.1.2.3

Additionnez

$5$ et

$1$ .

$\frac{30 w^{6} + w \cdot - 1 - (5 w^{6}) \cdot 1 - - w \cdot 1}{w^{2}}$

Étape 6.4.1.3

Déplacez

$- 1$ à gauche de

$w$ .

$\frac{30 w^{6} - 1 \cdot w - (5 w^{6}) \cdot 1 - - w \cdot 1}{w^{2}}$

Étape 6.4.1.4

Réécrivez

$- 1 w$ comme

$- w$ .

$\frac{30 w^{6} - w - (5 w^{6}) \cdot 1 - - w \cdot 1}{w^{2}}$

Étape 6.4.1.5

Multipliez

$5$ par

$- 1$ .

$\frac{30 w^{6} - w - 5 w^{6} \cdot 1 - - w \cdot 1}{w^{2}}$

Étape 6.4.1.6

Multipliez

$- 5$ par

$1$ .

$\frac{30 w^{6} - w - 5 w^{6} - - w \cdot 1}{w^{2}}$

Étape 6.4.1.7

Multipliez

$- - w$ .

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Étape 6.4.1.7.1

Multipliez

$- 1$ par

$- 1$ .

$\frac{30 w^{6} - w - 5 w^{6} + 1 w \cdot 1}{w^{2}}$

Étape 6.4.1.7.2

Multipliez

$w$ par

$1$ .

$\frac{30 w^{6} - w - 5 w^{6} + w \cdot 1}{w^{2}}$

Étape 6.4.1.8

Multipliez

$w$ par

$1$ .

$\frac{30 w^{6} - w - 5 w^{6} + w}{w^{2}}$

Étape 6.4.2

Associez les termes opposés dans

$30 w^{6} - w - 5 w^{6} + w$ .

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Étape 6.4.2.1

Additionnez

$- w$ et

$w$ .

$\frac{30 w^{6} - 5 w^{6} + 0}{w^{2}}$

Étape 6.4.2.2

Additionnez

$30 w^{6} - 5 w^{6}$ et

$0$ .

$\frac{30 w^{6} - 5 w^{6}}{w^{2}}$

Étape 6.4.3

Soustrayez

$5 w^{6}$ de

$30 w^{6}$ .

$\frac{25 w^{6}}{w^{2}}$

Étape 6.5

Annulez le facteur commun à

$w^{6}$ et

$w^{2}$ .

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Étape 6.5.1

Factorisez

$w^{2}$ à partir de

$25 w^{6}$ .

$\frac{w^{2} (25 w^{4})}{w^{2}}$

Étape 6.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.5.2.1

Multipliez par

$1$ .

$\frac{w^{2} (25 w^{4})}{w^{2} \cdot 1}$

Étape 6.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{w^{2} (25 w^{4})}{w^{2} \cdot 1}$

Étape 6.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{25 w^{4}}{1}$

Étape 6.5.2.4

Divisez

$25 w^{4}$ par

$1$ .

$25 w^{4}$