Calcul infinitésimal Exemples

y = 13 - x^{2}

$y = 13 - x^{2}$ ,

$y = x^{2} - 5$

Étape 1

Résolvez par substitution afin de déterminer l’intersection entre les courbes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Éliminez les côtés égaux de chaque équation et associez.

$13 - x^{2} = x^{2} - 5$

Étape 1.2

Résolvez

$13 - x^{2} = x^{2} - 5$ pour

$x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Déplacez tous les termes contenant

$x$ du côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1.1

Soustrayez

$x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$13 - x^{2} - x^{2} = - 5$

Étape 1.2.1.2

Soustrayez

$x^{2}$ de

$- x^{2}$ .

$13 - 2 x^{2} = - 5$

Étape 1.2.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas

$x$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.1

Soustrayez

$13$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 x^{2} = - 5 - 13$

Étape 1.2.2.2

Soustrayez

$13$ de

$- 5$ .

$- 2 x^{2} = - 18$

Étape 1.2.3

Divisez chaque terme dans

$- 2 x^{2} = - 18$ par

$- 2$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.1

Divisez chaque terme dans

$- 2 x^{2} = - 18$ par

$- 2$ .

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 18}{- 2}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.1

Annulez le facteur commun de

$- 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 18}{- 2}$

Étape 1.2.3.2.1.2

Divisez

$x^{2}$ par

$1$ .

$x^{2} = \frac{- 18}{- 2}$

Étape 1.2.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.3.1

Divisez

$- 18$ par

$- 2$ .

$x^{2} = 9$

Étape 1.2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{9}$

Étape 1.2.5

Simplifiez

$\pm \sqrt{9}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.5.1

Réécrivez

$9$ comme

$3^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Étape 1.2.5.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 3$

Étape 1.2.6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du

$\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 3$

Étape 1.2.6.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du

$\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 3$

Étape 1.2.6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 3, - 3$

Étape 1.3

Évaluez

$y$ quand

$x = 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Remplacez

$x$ par

$3$ .

$y = {(3)}^{2} - 5$

Étape 1.3.2

Remplacez

$x$ par

$3$ dans

$y = {(3)}^{2} - 5$ et résolvez

$y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = 3^{2} - 5$

Étape 1.3.2.2

Simplifiez

$3^{2} - 5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.2.2.1

Élevez

$3$ à la puissance

$2$ .

$y = 9 - 5$

Étape 1.3.2.2.2

Soustrayez

$5$ de

$9$ .

$y = 4$

Étape 1.4

La solution du système est l’ensemble complet de paires ordonnées qui sont des solutions valides.

$(3, 4)$

$(- 3, 4)$

$(3, 4)$

$(- 3, 4)$

Étape 2

Remettez dans l’ordre

$13$ et

$- x^{2}$ .

$y = - x^{2} + 13$

Étape 3

L’aire de la région entre les courbes est définie comme l’intégrale de la courbe supérieure moins l’intégrale de la courbe inférieure sur chaque région. Les régions sont déterminées par les points d’intersection des courbes. Cela peut être fait de manière algébrique ou graphique.

$A r e a = \int_{- 3}^{3} - x^{2} + 13 d x - \int_{- 3}^{3} x^{2} - 5 d x$

Étape 4

Intégrez pour déterminer l’aire entre

$- 3$ et

$3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Associez les intégrales en une intégrale unique.

$\int_{- 3}^{3} - x^{2} + 13 - (x^{2} - 5) d x$

Étape 4.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$- x^{2} + 13 - x^{2} - - 5$

Étape 4.2.2

Multipliez

$- 1$ par

$- 5$ .

$- x^{2} + 13 - x^{2} + 5$

$\int_{- 3}^{3} - x^{2} + 13 - x^{2} + 5 d x$

Étape 4.3

Simplifiez en ajoutant des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1

Soustrayez

$x^{2}$ de

$- x^{2}$ .

$- 2 x^{2} + 13 + 5$

Étape 4.3.2

Additionnez

$13$ et

$5$ .

$- 2 x^{2} + 18$

$\int_{- 3}^{3} - 2 x^{2} + 18 d x$

Étape 4.4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{- 3}^{3} - 2 x^{2} d x + \int_{- 3}^{3} 18 d x$

Étape 4.5

Comme

$- 2$ est constant par rapport à

$x$ , placez

$- 2$ en dehors de l’intégrale.

$- 2 \int_{- 3}^{3} x^{2} d x + \int_{- 3}^{3} 18 d x$

Étape 4.6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de

$x^{2}$ par rapport à

$x$ est

$\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- 2 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{3}) + \int_{- 3}^{3} 18 d x$

Étape 4.7

Associez

$\frac{1}{3}$ et

$x^{3}$ .

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{3}) + \int_{- 3}^{3} 18 d x$

Étape 4.8

Appliquez la règle de la constante.

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{3}) + 18 x]_{- 3}^{3}$

Étape 4.9

Remplacez et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.9.1

Évaluez

$\frac{x^{3}}{3}$ sur

$3$ et sur

$- 3$ .

$- 2 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 18 x]_{- 3}^{3}$

Étape 4.9.2

Évaluez

$18 x$ sur

$3$ et sur

$- 3$ .

$- 2 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 18 \cdot 3 - 18 \cdot - 3$

Étape 4.9.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.9.3.1

Élevez

$3$ à la puissance

$3$ .

$- 2 (\frac{27}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 18 \cdot 3 - 18 \cdot - 3$

Étape 4.9.3.2

Annulez le facteur commun à

$27$ et

$3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.9.3.2.1

Factorisez

$3$ à partir de

$27$ .

$- 2 (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 18 \cdot 3 - 18 \cdot - 3$

Étape 4.9.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.9.3.2.2.1

Factorisez

$3$ à partir de

$3$ .

$- 2 (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 18 \cdot 3 - 18 \cdot - 3$

Étape 4.9.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$- 2 (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 18 \cdot 3 - 18 \cdot - 3$

Étape 4.9.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$- 2 (\frac{9}{1} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 18 \cdot 3 - 18 \cdot - 3$

Étape 4.9.3.2.2.4

Divisez

$9$ par

$1$ .

$- 2 (9 - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 18 \cdot 3 - 18 \cdot - 3$

Étape 4.9.3.3

Élevez

$- 3$ à la puissance

$3$ .

$- 2 (9 - \frac{- 27}{3}) + 18 \cdot 3 - 18 \cdot - 3$

Étape 4.9.3.4

Annulez le facteur commun à

$- 27$ et

$3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.9.3.4.1

Factorisez

$3$ à partir de

$- 27$ .

$- 2 (9 - \frac{3 \cdot - 9}{3}) + 18 \cdot 3 - 18 \cdot - 3$

Étape 4.9.3.4.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.9.3.4.2.1

Factorisez

$3$ à partir de

$3$ .

$- 2 (9 - \frac{3 \cdot - 9}{3 (1)}) + 18 \cdot 3 - 18 \cdot - 3$

Étape 4.9.3.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$- 2 (9 - \frac{3 \cdot - 9}{3 \cdot 1}) + 18 \cdot 3 - 18 \cdot - 3$

Étape 4.9.3.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$- 2 (9 - \frac{- 9}{1}) + 18 \cdot 3 - 18 \cdot - 3$

Étape 4.9.3.4.2.4

Divisez

$- 9$ par

$1$ .

$- 2 (9 - - 9) + 18 \cdot 3 - 18 \cdot - 3$

Étape 4.9.3.5

Multipliez

$- 1$ par

$- 9$ .

$- 2 (9 + 9) + 18 \cdot 3 - 18 \cdot - 3$

Étape 4.9.3.6

Additionnez

$9$ et

$9$ .

$- 2 \cdot 18 + 18 \cdot 3 - 18 \cdot - 3$

Étape 4.9.3.7

Multipliez

$- 2$ par

$18$ .

$- 36 + 18 \cdot 3 - 18 \cdot - 3$

Étape 4.9.3.8

Multipliez

$18$ par

$3$ .

$- 36 + 54 - 18 \cdot - 3$

Étape 4.9.3.9

Multipliez

$- 18$ par

$- 3$ .

$- 36 + 54 + 54$

Étape 4.9.3.10

Additionnez

$54$ et

$54$ .

$- 36 + 108$

Étape 4.9.3.11

Additionnez

$- 36$ et

$108$ .

$72$

Étape 5