Calcul infinitésimal Exemples

$1$ , $\frac{1}{2}$ , $\frac{1}{4}$ , $\frac{1}{8}$ , $\frac{1}{16}$

Étape 1

C’est une séquence géométrique car il y a un rapport commun entre chaque terme. Dans ce cas, la multiplication du terme précédent dans la séquence par $\frac{1}{2}$ produit le terme suivant. En d’autres termes, $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ .

Séquence géométrique : $r = \frac{1}{2}$

Étape 2

C’est la forme d’une séquence géométrique.

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$

Étape 3

Remplacez les valeurs de $a_{1} = 1$ et $r = \frac{1}{2}$ .

$a_{n} = 1 {(\frac{1}{2})}^{n - 1}$

Étape 4

Multipliez ${(\frac{1}{2})}^{n - 1}$ par $1$ .

$a_{n} = {(\frac{1}{2})}^{n - 1}$

Étape 5

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$a_{n} = \frac{1^{n - 1}}{2^{n - 1}}$

Étape 6

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$a_{n} = \frac{1}{2^{n - 1}}$

Étape 7

Cette formule permet de déterminer la somme des $n$ premiers termes de la séquence géométrique. Pour l’évaluer, déterminez les valeurs de $r$ et $a_{1}$ .

$S_{n} = \frac{a_{1} (r^{n} - 1)}{r - 1}$

Étape 8

Remplacez les variables par les valeurs connues pour déterminer $S_{5}$ .

$S_{5} = 1 \cdot \frac{{(\frac{1}{2})}^{5} - 1}{\frac{1}{2} - 1}$

Étape 9

Multipliez $\frac{{(\frac{1}{2})}^{5} - 1}{\frac{1}{2} - 1}$ par $1$ .

$S_{5} = \frac{{(\frac{1}{2})}^{5} - 1}{\frac{1}{2} - 1}$

Étape 10

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $2$ .

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Étape 10.1

Multipliez $\frac{{(\frac{1}{2})}^{5} - 1}{\frac{1}{2} - 1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$S_{5} = \frac{2}{2} \cdot \frac{{(\frac{1}{2})}^{5} - 1}{\frac{1}{2} - 1}$

Étape 10.2

Associez.

$S_{5} = \frac{2 ({(\frac{1}{2})}^{5} - 1)}{2 (\frac{1}{2} - 1)}$

Étape 11

Appliquez la propriété distributive.

$S_{5} = \frac{2 {(\frac{1}{2})}^{5} + 2 \cdot - 1}{2 (\frac{1}{2}) + 2 \cdot - 1}$

Étape 12

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 12.1

Annulez le facteur commun.

$S_{5} = \frac{2 {(\frac{1}{2})}^{5} + 2 \cdot - 1}{2 (\frac{1}{2}) + 2 \cdot - 1}$

Étape 12.2

Réécrivez l’expression.

$S_{5} = \frac{2 {(\frac{1}{2})}^{5} + 2 \cdot - 1}{1 + 2 \cdot - 1}$

Étape 13

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$S_{5} = \frac{2 (\frac{1^{5}}{2^{5}}) + 2 \cdot - 1}{1 + 2 \cdot - 1}$

Étape 13.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 13.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2^{5}$ .

$S_{5} = \frac{2 (\frac{1^{5}}{2 \cdot 2^{4}}) + 2 \cdot - 1}{1 + 2 \cdot - 1}$

Étape 13.2.2

Annulez le facteur commun.

$S_{5} = \frac{2 (\frac{1^{5}}{2 \cdot 2^{4}}) + 2 \cdot - 1}{1 + 2 \cdot - 1}$

Étape 13.2.3

Réécrivez l’expression.

$S_{5} = \frac{\frac{1^{5}}{2^{4}} + 2 \cdot - 1}{1 + 2 \cdot - 1}$

Étape 13.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$S_{5} = \frac{\frac{1}{2^{4}} + 2 \cdot - 1}{1 + 2 \cdot - 1}$

Étape 13.4

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$S_{5} = \frac{\frac{1}{16} + 2 \cdot - 1}{1 + 2 \cdot - 1}$

Étape 13.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$S_{5} = \frac{\frac{1}{16} - 2}{1 + 2 \cdot - 1}$

Étape 13.6

Pour écrire $- 2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{16}{16}$ .

$S_{5} = \frac{\frac{1}{16} - 2 \cdot \frac{16}{16}}{1 + 2 \cdot - 1}$

Étape 13.7

Associez $- 2$ et $\frac{16}{16}$ .

$S_{5} = \frac{\frac{1}{16} + \frac{- 2 \cdot 16}{16}}{1 + 2 \cdot - 1}$

Étape 13.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$S_{5} = \frac{\frac{1 - 2 \cdot 16}{16}}{1 + 2 \cdot - 1}$

Étape 13.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.9.1

Multipliez $- 2$ par $16$ .

$S_{5} = \frac{\frac{1 - 32}{16}}{1 + 2 \cdot - 1}$

Étape 13.9.2

Soustrayez $32$ de $1$ .

$S_{5} = \frac{\frac{- 31}{16}}{1 + 2 \cdot - 1}$

Étape 13.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$S_{5} = \frac{- \frac{31}{16}}{1 + 2 \cdot - 1}$

Étape 14

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 14.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$S_{5} = \frac{- \frac{31}{16}}{1 - 2}$

Étape 14.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$S_{5} = \frac{- \frac{31}{16}}{- 1}$

Étape 15

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 15.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$S_{5} = \frac{\frac{31}{16}}{1}$

Étape 15.2

Divisez $\frac{31}{16}$ par $1$ .

$S_{5} = \frac{31}{16}$