Calcul infinitésimal Exemples

\sin^{2} (x)

$\sin^{2} (x)$

Étape 1

Utilisez la formule de l’angle moitié pour réécrire

\sin^{2} (x)

$\sin^{2} (x)$ en

\frac{1 - \cos (2 x)}{2}

$\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ .

\int \frac{1 - \cos (2 x)}{2} d x

$\int \frac{1 - \cos (2 x)}{2} d x$

Étape 2

Comme

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ est constant par rapport à

x

$x$ , placez

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 x) d x

$\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 x) d x$

Étape 3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

\frac{1}{2} (\int d x + \int - \cos (2 x) d x)

$\frac{1}{2} (\int d x + \int - \cos (2 x) d x)$

Étape 4

Appliquez la règle de la constante.

\frac{1}{2} (x + C + \int - \cos (2 x) d x)

$\frac{1}{2} (x + C + \int - \cos (2 x) d x)$

Étape 5

Comme

- 1

$- 1$ est constant par rapport à

x

$x$ , placez

- 1

$- 1$ en dehors de l’intégrale.

\frac{1}{2} (x + C - \int \cos (2 x) d x)

$\frac{1}{2} (x + C - \int \cos (2 x) d x)$

Étape 6

Laissez

u = 2 x

$u = 2 x$ . Alors

d u = 2 d x

$d u = 2 d x$ , donc

\frac{1}{2} d u = d x

$\frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec

u

$u$ et

d

$d$

u

$u$ .

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Étape 6.1

Laissez

u = 2 x

$u = 2 x$ . Déterminez

\frac{d u}{d x}

$\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 6.1.1

Différenciez

2 x

$2 x$ .

\frac{d}{d x} [2 x]

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 6.1.2

Comme

2

$2$ est constant par rapport à

x

$x$ , la dérivée de

2 x

$2 x$ par rapport à

x

$x$ est

2 \frac{d}{d x} [x]

$2 \frac{d}{d x} [x]$ .

2 \frac{d}{d x} [x]

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 6.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ où

n = 1

$n = 1$ .

2 \cdot 1

$2 \cdot 1$

Étape 6.1.4

Multipliez

2

$2$ par

1

$1$ .

2

$2$

2

$2$

Étape 6.2

Réécrivez le problème en utilisant

u

$u$ et

d u

$d u$ .

\frac{1}{2} (x + C - \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)

$\frac{1}{2} (x + C - \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

\frac{1}{2} (x + C - \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)

$\frac{1}{2} (x + C - \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Étape 7

Associez

\cos (u)

$\cos (u)$ et

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

\frac{1}{2} (x + C - \int \frac{\cos (u)}{2} d u)

$\frac{1}{2} (x + C - \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Étape 8

Comme

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ est constant par rapport à

u

$u$ , placez

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

\frac{1}{2} (x + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u))

$\frac{1}{2} (x + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u))$

Étape 9

L’intégrale de

\cos (u)

$\cos (u)$ par rapport à

u

$u$ est

\sin (u)

$\sin (u)$ .

\frac{1}{2} (x + C - \frac{1}{2} (\sin (u) + C))

$\frac{1}{2} (x + C - \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Étape 10

Simplifiez

\frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} \sin (u)) + C

$\frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Étape 11

Remplacez toutes les occurrences de

u

$u$ par

2 x

$2 x$ .

\frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} \sin (2 x)) + C

$\frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} \sin (2 x)) + C$

Étape 12

Simplifiez

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Étape 12.1

Associez

\sin (2 x)

$\sin (2 x)$ et

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

\frac{1}{2} (x - \frac{\sin (2 x)}{2}) + C

$\frac{1}{2} (x - \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

Étape 12.2

Appliquez la propriété distributive.

\frac{1}{2} x + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2}) + C

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

Étape 12.3

Associez

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ et

x

$x$ .

\frac{x}{2} + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2}) + C

$\frac{x}{2} + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

Étape 12.4

Multipliez

\frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2})

$\frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2})$ .

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Étape 12.4.1

Multipliez

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ par

\frac{\sin (2 x)}{2}

$\frac{\sin (2 x)}{2}$ .

\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2 \cdot 2} + C

$\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2 \cdot 2} + C$

Étape 12.4.2

Multipliez

2

$2$ par

2

$2$ .

\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4} + C

$\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4} + C

$\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4} + C

$\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

Étape 13

Remettez les termes dans l’ordre.

\frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x) + C

$\frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$