Calcul infinitésimal Exemples

\infty \sum n = 0 {(\frac{1}{2})}^{n}

$\sum_{n = 0}^{\infty} {(\frac{1}{2})}^{n}$

Étape 1

La somme d’une série géométrique infinie peut être déterminée en utilisant la formule

\frac{a}{1 - r}

$\frac{a}{1 - r}$ où

a

$a$ est le premier terme et

r

$r$ est le rapport entre des termes successifs.

Étape 2

Déterminez le rapport de termes successifs en insérant dans la formule

r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}

$r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ et en simplifiant.

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Étape 2.1

Remplacez

a_{n}

$a_{n}$ et

a_{n + 1}

$a_{n + 1}$ dans la formule pour

r

$r$ .

r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{n + 1}}{{(\frac{1}{2})}^{n}}

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{n + 1}}{{(\frac{1}{2})}^{n}}$

Étape 2.2

Annulez le facteur commun à

{(\frac{1}{2})}^{n + 1}

${(\frac{1}{2})}^{n + 1}$ et

{(\frac{1}{2})}^{n}

${(\frac{1}{2})}^{n}$ .

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Étape 2.2.1

Factorisez

{(\frac{1}{2})}^{n}

${(\frac{1}{2})}^{n}$ à partir de

{(\frac{1}{2})}^{n + 1}

${(\frac{1}{2})}^{n + 1}$ .

r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{n} \frac{1}{2}}{{(\frac{1}{2})}^{n}}

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{n} \frac{1}{2}}{{(\frac{1}{2})}^{n}}$

Étape 2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.2.1

Multipliez par

1

$1$ .

r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{n} \frac{1}{2}}{{(\frac{1}{2})}^{n} \cdot 1}

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{n} \frac{1}{2}}{{(\frac{1}{2})}^{n} \cdot 1}$

Étape 2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{n} \frac{1}{2}}{{(\frac{1}{2})}^{n} \cdot 1}$

Étape 2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$r = \frac{\frac{1}{2}}{1}$

Étape 2.2.2.4

Divisez

$\frac{1}{2}$ par

$1$ .

$r = \frac{1}{2}$

Étape 3

Since

$| r | < 1$ , the series converges.

Étape 4

Déterminez les premiers termes de la série en remplaçant dans la borne inférieure et en simplifiant.

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Étape 4.1

Remplacez

$n$ par

$0$ dans

${(\frac{1}{2})}^{n}$ .

$a = {(\frac{1}{2})}^{0}$

Étape 4.2

Simplifiez

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Étape 4.2.1

Appliquez la règle de produit à

$\frac{1}{2}$ .

$a = \frac{1^{0}}{2^{0}}$

Étape 4.2.2

Tout ce qui est élevé à la puissance

$0$ est

$1$ .

$a = \frac{1}{2^{0}}$

Étape 4.2.3

Tout ce qui est élevé à la puissance

$0$ est

$1$ .

$a = \frac{1}{1}$

Étape 4.2.4

Divisez

$1$ par

$1$ .

$a = 1$

Étape 5

Remplacez les valeurs du rapport et du premier terme dans la formule de l’addition.

$\frac{1}{1 - \frac{1}{2}}$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.1.1

Écrivez

$1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{1}{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}$

Étape 6.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{\frac{2 - 1}{2}}$

Étape 6.1.3

Soustrayez

$1$ de

$2$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2}}$

Étape 6.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$1 \cdot 2$

Étape 6.3

Multipliez

$2$ par

$1$ .

$2$