Calcul infinitésimal Exemples

$\sum_{n = 0}^{\infty} {(\frac{1}{2})}^{n}$

Étape 1

La somme d’une série géométrique infinie peut être déterminée en utilisant la formule $\frac{a}{1 - r}$ où $a$ est le premier terme et $r$ est le rapport entre des termes successifs.

Étape 2

Déterminez le rapport de termes successifs en insérant dans la formule $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ et en simplifiant.

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Étape 2.1

Remplacez $a_{n}$ et $a_{n + 1}$ dans la formule pour $r$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{n + 1}}{{(\frac{1}{2})}^{n}}$

Étape 2.2

Annulez le facteur commun à ${(\frac{1}{2})}^{n + 1}$ et ${(\frac{1}{2})}^{n}$ .

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Étape 2.2.1

Factorisez ${(\frac{1}{2})}^{n}$ à partir de ${(\frac{1}{2})}^{n + 1}$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{n} \frac{1}{2}}{{(\frac{1}{2})}^{n}}$

Étape 2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.2.1

Multipliez par $1$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{n} \frac{1}{2}}{{(\frac{1}{2})}^{n} \cdot 1}$

Étape 2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{n} \frac{1}{2}}{{(\frac{1}{2})}^{n} \cdot 1}$

Étape 2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$r = \frac{\frac{1}{2}}{1}$

Étape 2.2.2.4

Divisez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$r = \frac{1}{2}$

Étape 3

Since $| r | < 1$ , the series converges.

Étape 4

Déterminez les premiers termes de la série en remplaçant dans la borne inférieure et en simplifiant.

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Étape 4.1

Remplacez $n$ par $0$ dans ${(\frac{1}{2})}^{n}$ .

$a = {(\frac{1}{2})}^{0}$

Étape 4.2

Simplifiez

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Étape 4.2.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$a = \frac{1^{0}}{2^{0}}$

Étape 4.2.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$a = \frac{1}{2^{0}}$

Étape 4.2.3

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$a = \frac{1}{1}$

Étape 4.2.4

Divisez $1$ par $1$ .

$a = 1$

Étape 5

Remplacez les valeurs du rapport et du premier terme dans la formule de l’addition.

$\frac{1}{1 - \frac{1}{2}}$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.1.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{1}{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}$

Étape 6.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{\frac{2 - 1}{2}}$

Étape 6.1.3

Soustrayez $1$ de $2$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2}}$

Étape 6.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$1 \cdot 2$

Étape 6.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$