Calcul infinitésimal Exemples

$\sin^{2} (θ)$

Étape 1

Écrivez $\sin^{2} (θ)$ comme une fonction.

$f (θ) = \sin^{2} (θ)$

Étape 2

La fonction $F (θ)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (θ)$ .

$F (θ) = \int f (θ) d θ$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (θ) = \int \sin^{2} (θ) d θ$

Étape 4

Utilisez la formule de l’angle moitié pour réécrire $\sin^{2} (θ)$ en $\frac{1 - \cos (2 θ)}{2}$ .

$\int \frac{1 - \cos (2 θ)}{2} d θ$

Étape 5

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $θ$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 θ) d θ$

Étape 6

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{2} (\int d θ + \int - \cos (2 θ) d θ)$

Étape 7

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{2} (θ + C + \int - \cos (2 θ) d θ)$

Étape 8

Comme $- 1$ est constant par rapport à $θ$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} (θ + C - \int \cos (2 θ) d θ)$

Étape 9

Laissez $u = 2 θ$ . Alors $d u = 2 d θ$ , donc $\frac{1}{2} d u = d θ$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 9.1

Laissez $u = 2 θ$ . Déterminez $\frac{d u}{d θ}$ .

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Étape 9.1.1

Différenciez $2 θ$ .

$\frac{d}{d θ} [2 θ]$

Étape 9.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $θ$ , la dérivée de $2 θ$ par rapport à $θ$ est $2 \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$2 \frac{d}{d θ} [θ]$

Étape 9.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ est $n θ^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 9.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 9.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\frac{1}{2} (θ + C - \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Étape 10

Associez $\cos (u)$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (θ + C - \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Étape 11

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} (θ + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u))$

Étape 12

L’intégrale de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (θ + C - \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Étape 13

Simplifiez

$\frac{1}{2} (θ - \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Étape 14

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 θ$ .

$\frac{1}{2} (θ - \frac{1}{2} \sin (2 θ)) + C$

Étape 15

Simplifiez

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Étape 15.1

Associez $\sin (2 θ)$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (θ - \frac{\sin (2 θ)}{2}) + C$

Étape 15.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{2} θ + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 θ)}{2}) + C$

Étape 15.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $θ$ .

$\frac{θ}{2} + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 θ)}{2}) + C$

Étape 15.4

Multipliez $\frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 θ)}{2})$ .

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Étape 15.4.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{\sin (2 θ)}{2}$ .

$\frac{θ}{2} - \frac{\sin (2 θ)}{2 \cdot 2} + C$

Étape 15.4.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{θ}{2} - \frac{\sin (2 θ)}{4} + C$

Étape 16

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{2} θ - \frac{1}{4} \sin (2 θ) + C$

Étape 17

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (θ) = \sin^{2} (θ)$ .

$F (θ) =$ $\frac{1}{2} θ - \frac{1}{4} \sin (2 θ) + C$