Calcul infinitésimal Exemples

$x = 2 y - y^{2}$

Étape 1

Remettez dans l’ordre $2 y$ et $- y^{2}$ .

$x = - y^{2} + 2 y$

Étape 2

Déterminez les probabilités de la parabole donnée.

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation en forme de sommet.

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Étape 2.1.1

Complétez le carré pour $- y^{2} + 2 y$ .

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Étape 2.1.1.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = - 1$

$b = 2$

$c = 0$

Étape 2.1.1.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 2.1.1.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 2.1.1.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{2}{2 \cdot - 1}$

Étape 2.1.1.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1.1.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.1.1.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2}{2 \cdot - 1}$

Étape 2.1.1.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{1}{- 1}$

Étape 2.1.1.3.2.1.3

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{1}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 1$

Étape 2.1.1.3.2.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$d = - 1$

Étape 2.1.1.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 2.1.1.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{2^{2}}{4 \cdot - 1}$

Étape 2.1.1.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1.1.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1.4.2.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot - 1}$

Étape 2.1.1.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$e = 0 - \frac{4}{- 4}$

Étape 2.1.1.4.2.1.3

Divisez $4$ par $- 4$ .

$e = 0 - - 1$

Étape 2.1.1.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$e = 0 + 1$

Étape 2.1.1.4.2.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$e = 1$

Étape 2.1.1.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $- {(y - 1)}^{2} + 1$ .

$- {(y - 1)}^{2} + 1$

Étape 2.1.2

Définissez $x$ égal au nouveau côté droit.

$x = - {(y - 1)}^{2} + 1$

Étape 2.2

Utilisez la forme du sommet, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , pour déterminer les valeurs de $a$ , $h$ et $k$ .

$a = - 1$

$h = 1$

$k = 1$

Étape 2.3

Comme la valeur de $a$ est négative, la parabole ouvre vers la gauche.

Ouvre vers la gauche

Étape 2.4

Déterminez le sommet $(h, k)$ .

$(1, 1)$

Étape 2.5

Déterminez $p$ , la distance du sommet au foyer.

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Étape 2.5.1

Déterminez la distance du sommet à un foyer de la parabole en utilisant la formule suivante.

$\frac{1}{4 a}$

Étape 2.5.2

Remplacez la valeur de $a$ dans la fonction.

$\frac{1}{4 \cdot - 1}$

Étape 2.5.3

Annulez le facteur commun à $1$ et $- 1$ .

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Étape 2.5.3.1

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot - 1}$

Étape 2.5.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{4}$

Étape 2.6

Déterminez le foyer.

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Étape 2.6.1

Le foyer d’une parabole peut être trouvé en ajoutant $p$ à la coordonnée x $h$ si la parabole ouvre vers la gauche ou vers la droite.

$(h + p, k)$

Étape 2.6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(\frac{3}{4}, 1)$

Étape 2.7

Déterminez l’axe de symétrie en trouvant la droite qui passe par le sommet et le foyer.

$y = 1$

Étape 2.8

Déterminez la directrice.

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Étape 2.8.1

La directrice d’une parabole est la droite verticale déterminée en soustrayant $p$ de la coordonnée x $h$ du sommet si la parabole ouvre vers la gauche ou vers la droite.

$x = h - p$

Étape 2.8.2

Remplacez les valeurs connues de $p$ et $h$ dans la formule et simplifiez.

$x = \frac{5}{4}$

Étape 2.9

Utilisez les propriétés de la parabole pour analyser la parabole et la représenter sous forme graphique.

Direction : Ouvre vers la gauche

Sommet : $(1, 1)$

Foyer : $(\frac{3}{4}, 1)$

Axe de symétrie : $y = 1$

Directrice : $x = \frac{5}{4}$

Direction : Ouvre vers la gauche

Sommet : $(1, 1)$

Foyer : $(\frac{3}{4}, 1)$

Axe de symétrie : $y = 1$

Directrice : $x = \frac{5}{4}$

Étape 3

Sélectionnez quelques valeurs $x$ et insérez-les dans l’équation pour déterminer les valeurs $y$ correspondantes. Les valeurs $x$ devraient être sélectionnées autour du sommet.

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Étape 3.1

Remplacez la valeur $x$ $- 1$ dans $f (x) = 1 + \sqrt{1 - x}$ . Dans ce cas, le point est $(- 1, 2.41421356)$ .

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Étape 3.1.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f (- 1) = 1 + \sqrt{1 - (- 1)}$

Étape 3.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (- 1) = 1 + \sqrt{1 + 1}$

Étape 3.1.2.1.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (- 1) = 1 + \sqrt{2}$

Étape 3.1.2.2

La réponse finale est $1 + \sqrt{2}$ .

$y = 1 + \sqrt{2}$

Étape 3.1.3

Convertissez $1 + \sqrt{2}$ en décimale.

$= 2.41421356$

Étape 3.2

Remplacez la valeur $x$ $- 1$ dans $f (x) = 1 - \sqrt{1 - x}$ . Dans ce cas, le point est $(- 1, - 0.41421356)$ .

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Étape 3.2.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f (- 1) = 1 - \sqrt{1 - (- 1)}$

Étape 3.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (- 1) = 1 - \sqrt{1 + 1}$

Étape 3.2.2.1.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (- 1) = 1 - \sqrt{2}$

Étape 3.2.2.2

La réponse finale est $1 - \sqrt{2}$ .

$y = 1 - \sqrt{2}$

Étape 3.2.3

Convertissez $1 - \sqrt{2}$ en décimale.

$= - 0.41421356$

Étape 3.3

Remplacez la valeur $x$ $0$ dans $f (x) = 1 + \sqrt{1 - x}$ . Dans ce cas, le point est $(0, 2)$ .

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Étape 3.3.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = 1 + \sqrt{1 - (0)}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$f (0) = 1 + \sqrt{1 + 0}$

Étape 3.3.2.1.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$f (0) = 1 + \sqrt{1}$

Étape 3.3.2.1.3

Toute racine de $1$ est $1$ .

$f (0) = 1 + 1$

Étape 3.3.2.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (0) = 2$

Étape 3.3.2.3

La réponse finale est $2$ .

$y = 2$

Étape 3.3.3

Convertissez $2$ en décimale.

$= 2$

Étape 3.4

Remplacez la valeur $x$ $0$ dans $f (x) = 1 - \sqrt{1 - x}$ . Dans ce cas, le point est $(0, 0)$ .

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Étape 3.4.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = 1 - \sqrt{1 - (0)}$

Étape 3.4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$f (0) = 1 - \sqrt{1 + 0}$

Étape 3.4.2.1.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$f (0) = 1 - \sqrt{1}$

Étape 3.4.2.1.3

Toute racine de $1$ est $1$ .

$f (0) = 1 - 1 \cdot 1$

Étape 3.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (0) = 1 - 1$

Étape 3.4.2.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$f (0) = 0$

Étape 3.4.2.3

La réponse finale est $0$ .

$y = 0$

Étape 3.4.3

Convertissez $0$ en décimale.

$= 0$

Étape 3.5

Représentez la parabole en utilisant ses propriétés et les points sélectionnés.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & 2.41 \\ - 1 & - 0.41 \\ 0 & 2 \\ 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{array}$

Étape 4

Représentez la parabole en utilisant ses propriétés et les points sélectionnés.

Direction : Ouvre vers la gauche

Sommet : $(1, 1)$

Foyer : $(\frac{3}{4}, 1)$

Axe de symétrie : $y = 1$

Directrice : $x = \frac{5}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & 2.41 \\ - 1 & - 0.41 \\ 0 & 2 \\ 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{array}$

Étape 5