Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 14 x {(x - 1)}^{3}$

Étape 1

Comme $14$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $14 x {(x - 1)}^{3}$ par rapport à $x$ est $14 \frac{d}{d x} [x {(x - 1)}^{3}]$ .

$14 \frac{d}{d x} [x {(x - 1)}^{3}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = {(x - 1)}^{3}$ .

$14 (x \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{3}] + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = x - 1$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - 1$ .

$14 (x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$14 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 1$ .

$14 (x (3 {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$14 (x (3 {(x - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])) + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$14 (x (3 {(x - 1)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])) + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$14 (x (3 {(x - 1)}^{2} (1 + 0)) + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$14 (x (3 {(x - 1)}^{2} \cdot 1) + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.4.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$14 (x (3 {(x - 1)}^{2}) + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$14 (x (3 {(x - 1)}^{2}) + {(x - 1)}^{3} \cdot 1)$

Étape 4.6

Multipliez ${(x - 1)}^{3}$ par $1$ .

$14 (x (3 {(x - 1)}^{2}) + {(x - 1)}^{3})$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$14 (x (3 {(x - 1)}^{2})) + 14 {(x - 1)}^{3}$

Étape 5.2

Multipliez $3$ par $14$ .

$42 (x ({(x - 1)}^{2})) + 14 {(x - 1)}^{3}$

Étape 5.3

Factorisez $14 {(x - 1)}^{2}$ à partir de $42 x {(x - 1)}^{2} + 14 {(x - 1)}^{3}$ .

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Étape 5.3.1

Factorisez $14 {(x - 1)}^{2}$ à partir de $42 x {(x - 1)}^{2}$ .

$14 {(x - 1)}^{2} (3 x) + 14 {(x - 1)}^{3}$

Étape 5.3.2

Factorisez $14 {(x - 1)}^{2}$ à partir de $14 {(x - 1)}^{3}$ .

$14 {(x - 1)}^{2} (3 x) + 14 {(x - 1)}^{2} (x - 1)$

Étape 5.3.3

Factorisez $14 {(x - 1)}^{2}$ à partir de $14 {(x - 1)}^{2} (3 x) + 14 {(x - 1)}^{2} (x - 1)$ .

$14 {(x - 1)}^{2} (3 x + x - 1)$

Étape 5.4

Additionnez $3 x$ et $x$ .

$14 {(x - 1)}^{2} (4 x - 1)$

Étape 5.5

Réécrivez ${(x - 1)}^{2}$ comme $(x - 1) (x - 1)$ .

$14 ((x - 1) (x - 1)) (4 x - 1)$

Étape 5.6

Développez $(x - 1) (x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$14 (x (x - 1) - 1 (x - 1)) (4 x - 1)$

Étape 5.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$14 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) (4 x - 1)$

Étape 5.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$14 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) (4 x - 1)$

Étape 5.7

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.7.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$14 (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) (4 x - 1)$

Étape 5.7.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$14 (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) (4 x - 1)$

Étape 5.7.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$14 (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) (4 x - 1)$

Étape 5.7.1.4

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$14 (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) (4 x - 1)$

Étape 5.7.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$14 (x^{2} - x - x + 1) (4 x - 1)$

Étape 5.7.2

Soustrayez $x$ de $- x$ .

$14 (x^{2} - 2 x + 1) (4 x - 1)$

Étape 5.8

Appliquez la propriété distributive.

$(14 x^{2} + 14 (- 2 x) + 14 \cdot 1) (4 x - 1)$

Étape 5.9

Simplifiez

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Étape 5.9.1

Multipliez $- 2$ par $14$ .

$(14 x^{2} - 28 x + 14 \cdot 1) (4 x - 1)$

Étape 5.9.2

Multipliez $14$ par $1$ .

$(14 x^{2} - 28 x + 14) (4 x - 1)$

Étape 5.10

Développez $(14 x^{2} - 28 x + 14) (4 x - 1)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$14 x^{2} (4 x) + 14 x^{2} \cdot - 1 - 28 x (4 x) - 28 x \cdot - 1 + 14 (4 x) + 14 \cdot - 1$

Étape 5.11

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.11.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$14 \cdot 4 x^{2} x + 14 x^{2} \cdot - 1 - 28 x (4 x) - 28 x \cdot - 1 + 14 (4 x) + 14 \cdot - 1$

Étape 5.11.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.11.2.1

Déplacez $x$ .

$14 \cdot 4 (x \cdot x^{2}) + 14 x^{2} \cdot - 1 - 28 x (4 x) - 28 x \cdot - 1 + 14 (4 x) + 14 \cdot - 1$

Étape 5.11.2.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 5.11.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$14 \cdot 4 (x^{1} x^{2}) + 14 x^{2} \cdot - 1 - 28 x (4 x) - 28 x \cdot - 1 + 14 (4 x) + 14 \cdot - 1$

Étape 5.11.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$14 \cdot 4 x^{1 + 2} + 14 x^{2} \cdot - 1 - 28 x (4 x) - 28 x \cdot - 1 + 14 (4 x) + 14 \cdot - 1$

Étape 5.11.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$14 \cdot 4 x^{3} + 14 x^{2} \cdot - 1 - 28 x (4 x) - 28 x \cdot - 1 + 14 (4 x) + 14 \cdot - 1$

Étape 5.11.3

Multipliez $14$ par $4$ .

$56 x^{3} + 14 x^{2} \cdot - 1 - 28 x (4 x) - 28 x \cdot - 1 + 14 (4 x) + 14 \cdot - 1$

Étape 5.11.4

Multipliez $- 1$ par $14$ .

$56 x^{3} - 14 x^{2} - 28 x (4 x) - 28 x \cdot - 1 + 14 (4 x) + 14 \cdot - 1$

Étape 5.11.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$56 x^{3} - 14 x^{2} - 28 \cdot 4 x \cdot x - 28 x \cdot - 1 + 14 (4 x) + 14 \cdot - 1$

Étape 5.11.6

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.11.6.1

Déplacez $x$ .

$56 x^{3} - 14 x^{2} - 28 \cdot 4 (x \cdot x) - 28 x \cdot - 1 + 14 (4 x) + 14 \cdot - 1$

Étape 5.11.6.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$56 x^{3} - 14 x^{2} - 28 \cdot 4 x^{2} - 28 x \cdot - 1 + 14 (4 x) + 14 \cdot - 1$

Étape 5.11.7

Multipliez $- 28$ par $4$ .

$56 x^{3} - 14 x^{2} - 112 x^{2} - 28 x \cdot - 1 + 14 (4 x) + 14 \cdot - 1$

Étape 5.11.8

Multipliez $- 1$ par $- 28$ .

$56 x^{3} - 14 x^{2} - 112 x^{2} + 28 x + 14 (4 x) + 14 \cdot - 1$

Étape 5.11.9

Multipliez $4$ par $14$ .

$56 x^{3} - 14 x^{2} - 112 x^{2} + 28 x + 56 x + 14 \cdot - 1$

Étape 5.11.10

Multipliez $14$ par $- 1$ .

$56 x^{3} - 14 x^{2} - 112 x^{2} + 28 x + 56 x - 14$

Étape 5.12

Soustrayez $112 x^{2}$ de $- 14 x^{2}$ .

$56 x^{3} - 126 x^{2} + 28 x + 56 x - 14$

Étape 5.13

Additionnez $28 x$ et $56 x$ .

$56 x^{3} - 126 x^{2} + 84 x - 14$