Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \sin (\cos (\tan (x)))$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = \cos (\tan (x))$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\cos (\tan (x))$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [\cos (\tan (x))]$

Étape 1.2

La dérivée de $\sin (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [\cos (\tan (x))]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\cos (\tan (x))$ .

$\cos (\cos (\tan (x))) \frac{d}{d x} [\cos (\tan (x))]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = \tan (x)$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $\tan (x)$ .

$\cos (\cos (\tan (x))) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

Étape 2.2

La dérivée de $\cos (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $- \sin (u_{2})$ .

$\cos (\cos (\tan (x))) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\tan (x)$ .

$\cos (\cos (\tan (x))) (- \sin (\tan (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

Étape 3

La dérivée de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\sec^{2} (x)$ .

$\cos (\cos (\tan (x))) (- \sin (\tan (x)) \sec^{2} (x))$

Étape 4

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Étape 4.1

Réorganisez les facteurs de $\cos (\cos (\tan (x))) (- \sin (\tan (x)) \sec^{2} (x))$ .

$- \sec^{2} (x) \cos (\cos (\tan (x))) \sin (\tan (x))$

Étape 4.2

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$- {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \cos (\cos (\tan (x))) \sin (\tan (x))$

Étape 4.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$- \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \cos (\cos (\tan (x))) \sin (\tan (x))$

Étape 4.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- \frac{1}{\cos^{2} (x)} \cos (\cos (\tan (x))) \sin (\tan (x))$

Étape 4.5

Associez $\cos (\cos (\tan (x)))$ et $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

$- \frac{\cos (\cos (\tan (x)))}{\cos^{2} (x)} \sin (\tan (x))$

Étape 4.6

Associez $\sin (\tan (x))$ et $\frac{\cos (\cos (\tan (x)))}{\cos^{2} (x)}$ .

$- \frac{\sin (\tan (x)) \cos (\cos (\tan (x)))}{\cos^{2} (x)}$

Étape 4.7

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\cos^{2} (x)$ .

$- \frac{\sin (\tan (x)) \cos (\cos (\tan (x)))}{\cos (x) \cos (x)}$

Étape 4.8

Séparez les fractions.

$- (\frac{\cos (\cos (\tan (x)))}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (\tan (x))}{\cos (x)})$

Étape 4.9

Réécrivez $\frac{\sin (\tan (x))}{\cos (x)}$ comme un produit.

$- (\frac{\cos (\cos (\tan (x)))}{\cos (x)} (\sin (\tan (x)) \frac{1}{\cos (x)}))$

Étape 4.10

Écrivez $\sin (\tan (x))$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$- (\frac{\cos (\cos (\tan (x)))}{\cos (x)} (\frac{\sin (\tan (x))}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}))$

Étape 4.11

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Étape 4.11.1

Divisez $\sin (\tan (x))$ par $1$ .

$- (\frac{\cos (\cos (\tan (x)))}{\cos (x)} (\sin (\tan (x)) \frac{1}{\cos (x)}))$

Étape 4.11.2

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$- (\frac{\cos (\cos (\tan (x)))}{\cos (x)} (\sin (\tan (x)) \sec (x)))$

Étape 4.12

Réécrivez $\frac{\cos (\cos (\tan (x)))}{\cos (x)}$ comme un produit.

$- (\cos (\cos (\tan (x))) \frac{1}{\cos (x)} (\sin (\tan (x)) \sec (x)))$

Étape 4.13

Écrivez $\cos (\cos (\tan (x)))$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$- (\frac{\cos (\cos (\tan (x)))}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} (\sin (\tan (x)) \sec (x)))$

Étape 4.14

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Étape 4.14.1

Divisez $\cos (\cos (\tan (x)))$ par $1$ .

$- (\cos (\cos (\tan (x))) \frac{1}{\cos (x)} (\sin (\tan (x)) \sec (x)))$

Étape 4.14.2

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$- (\cos (\cos (\tan (x))) \sec (x) (\sin (\tan (x)) \sec (x)))$

Étape 4.15

Multipliez $\cos (\cos (\tan (x))) \sec (x) (\sin (\tan (x)) \sec (x))$ .

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Étape 4.15.1

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$- (\cos (\cos (\tan (x))) (\sec^{1} (x) \sec (x)) \sin (\tan (x)))$

Étape 4.15.2

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$- (\cos (\cos (\tan (x))) (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x)) \sin (\tan (x)))$

Étape 4.15.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- (\cos (\cos (\tan (x))) {\sec (x)}^{1 + 1} \sin (\tan (x)))$

Étape 4.15.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$- (\cos (\cos (\tan (x))) \sec^{2} (x) \sin (\tan (x)))$

$- \cos (\cos (\tan (x))) \sec^{2} (x) \sin (\tan (x))$