Calcul infinitésimal Exemples

lim x \to 0 \frac{sin (5 x)}{5 x}

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (5 x)}{5 x}$

Étape 1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

\frac{lim x \to 0 sin (5 x)}{lim x \to 0 5 x}

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (5 x)}{lim_{x \to 0} 5 x}$

Étape 1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.2.1.1

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

\frac{sin (lim x \to 0 5 x)}{lim x \to 0 5 x}

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} 5 x)}{lim_{x \to 0} 5 x}$

Étape 1.2.1.2

Placez le terme

5

$5$ hors de la limite car il constant par rapport à

$x$ .

$\frac{\sin (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 5 x}$

Étape 1.2.2

Évaluez la limite de

$x$ en insérant

$0$ pour

$x$ .

$\frac{\sin (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 5 x}$

Étape 1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.2.3.1

Multipliez

$5$ par

$0$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} 5 x}$

Étape 1.2.3.2

La valeur exacte de

$\sin (0)$ est

$0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 5 x}$

Étape 1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Placez le terme

$5$ hors de la limite car il constant par rapport à

$x$ .

$\frac{0}{5 lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.3.2

Évaluez la limite de

$x$ en insérant

$0$ pour

$x$ .

$\frac{0}{5 \cdot 0}$

Étape 1.3.3

Multipliez

$5$ par

$0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.4

L’expression contient une division par

$0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.4

L’expression contient une division par

$0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2

Comme

$\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (5 x)}{5 x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [5 x]}$

Étape 3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [5 x]}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est

$f' (g (x)) g' (x)$ où

$f (x) = \sin (x)$ et

$g (x) = 5 x$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez

$u$ comme

$5 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [5 x]}$

Étape 3.2.2

La dérivée de

$\sin (u)$ par rapport à

$u$ est

$\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [5 x]}$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de

$u$ par

$5 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [5 x]}$

Étape 3.3

Comme

$5$ est constant par rapport à

$x$ , la dérivée de

$5 x$ par rapport à

$x$ est

$5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [5 x]}$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est

$n x^{n - 1}$ où

$n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (5 x) (5 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [5 x]}$

Étape 3.5

Multipliez

$5$ par

$1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (5 x) \cdot 5}{\frac{d}{d x} [5 x]}$

Étape 3.6

Déplacez

$5$ à gauche de

$\cos (5 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \cdot \cos (5 x)}{\frac{d}{d x} [5 x]}$

Étape 3.7

Comme

$5$ est constant par rapport à

$x$ , la dérivée de

$5 x$ par rapport à

$x$ est

$5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \cos (5 x)}{5 \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est

$n x^{n - 1}$ où

$n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \cos (5 x)}{5 \cdot 1}$

Étape 3.9

Multipliez

$5$ par

$1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \cos (5 x)}{5}$

Étape 4

Évaluez la limite.

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Étape 4.1

Annulez le facteur commun de

$5$ .

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Étape 4.1.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to 0} \frac{5 \cos (5 x)}{5}$

Étape 4.1.2

Divisez

$\cos (5 x)$ par

$1$ .

$lim_{x \to 0} \cos (5 x)$

Étape 4.2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\cos (lim_{x \to 0} 5 x)$

Étape 4.3

Placez le terme

$5$ hors de la limite car il constant par rapport à

$x$ .

$\cos (5 lim_{x \to 0} x)$

Étape 5

Évaluez la limite de

$x$ en insérant

$0$ pour

$x$ .

$\cos (5 \cdot 0)$

Étape 6

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.1

Multipliez

$5$ par

$0$ .

$\cos (0)$

Étape 6.2

La valeur exacte de

$\cos (0)$ est

$1$ .

$1$