Calcul infinitésimal Exemples

lim_{h \to 0} \frac{\cos (h) - 1}{h}

$lim_{h \to 0} \frac{\cos (h) - 1}{h}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

\frac{lim_{h \to 0} \cos (h) - 1}{lim_{h \to 0} h}

$\frac{lim_{h \to 0} \cos (h) - 1}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque

h

$h$ approche de

0

$0$ .

\frac{lim_{h \to 0} \cos (h) - lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} h}

$\frac{lim_{h \to 0} \cos (h) - lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.1.2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

\frac{\cos (lim_{h \to 0} h) - lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} h}

$\frac{\cos (lim_{h \to 0} h) - lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.1.3

Évaluez la limite de

1

$1$ qui est constante lorsque

h

$h$ approche de

0

$0$ .

\frac{\cos (lim_{h \to 0} h) - 1 \cdot 1}{lim_{h \to 0} h}

$\frac{\cos (lim_{h \to 0} h) - 1 \cdot 1}{lim_{h \to 0} h}$

\frac{\cos (lim_{h \to 0} h) - 1 \cdot 1}{lim_{h \to 0} h}

$\frac{\cos (lim_{h \to 0} h) - 1 \cdot 1}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.2

Évaluez la limite de

h

$h$ en insérant

0

$0$ pour

h

$h$ .

\frac{\cos (0) - 1 \cdot 1}{lim_{h \to 0} h}

$\frac{\cos (0) - 1 \cdot 1}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.3.1.1

La valeur exacte de

\cos (0)

$\cos (0)$ est

1

$1$ .

\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{h \to 0} h}

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.3.1.2

Multipliez

- 1

$- 1$ par

1

$1$ .

\frac{1 - 1}{lim_{h \to 0} h}

$\frac{1 - 1}{lim_{h \to 0} h}$

\frac{1 - 1}{lim_{h \to 0} h}

$\frac{1 - 1}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.3.2

Soustrayez

1

$1$ de

1

$1$ .

\frac{0}{lim_{h \to 0} h}

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

\frac{0}{lim_{h \to 0} h}

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

\frac{0}{lim_{h \to 0} h}

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite de

h

$h$ en insérant

0

$0$ pour

h

$h$ .

\frac{0}{0}

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par

0

$0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

\frac{0}{0}

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme

\frac{0}{0}

$\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

lim_{h \to 0} \frac{\cos (h) - 1}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\cos (h) - 1]}{\frac{d}{d h} [h]}

$lim_{h \to 0} \frac{\cos (h) - 1}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\cos (h) - 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\cos (h) - 1]}{\frac{d}{d h} [h]}

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\cos (h) - 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de

\cos (h) - 1

$\cos (h) - 1$ par rapport à

h

$h$ est

\frac{d}{d h} [\cos (h)] + \frac{d}{d h} [- 1]

$\frac{d}{d h} [\cos (h)] + \frac{d}{d h} [- 1]$ .

lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\cos (h)] + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\cos (h)] + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.3

La dérivée de

\cos (h)

$\cos (h)$ par rapport à

h

$h$ est

- \sin (h)

$- \sin (h)$ .

lim_{h \to 0} \frac{- \sin (h) + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (h) + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.4

Comme

- 1

$- 1$ est constant par rapport à

h

$h$ , la dérivée de

- 1

$- 1$ par rapport à

h

$h$ est

0

$0$ .

lim_{h \to 0} \frac{- \sin (h) + 0}{\frac{d}{d h} [h]}

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (h) + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.5

Additionnez

- \sin (h)

$- \sin (h)$ et

0

$0$ .

lim_{h \to 0} \frac{- \sin (h)}{\frac{d}{d h} [h]}

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (h)}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que

\frac{d}{d h} [h^{n}]

$\frac{d}{d h} [h^{n}]$ est

n h^{n - 1}

$n h^{n - 1}$ où

n = 1

$n = 1$ .

lim_{h \to 0} \frac{- \sin (h)}{1}

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (h)}{1}$

lim_{h \to 0} \frac{- \sin (h)}{1}

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (h)}{1}$

Étape 1.4

Divisez

- \sin (h)

$- \sin (h)$ par

1

$1$ .

lim_{h \to 0} - \sin (h)

$lim_{h \to 0} - \sin (h)$

lim_{h \to 0} - \sin (h)

$lim_{h \to 0} - \sin (h)$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Placez le terme

- 1

$- 1$ hors de la limite car il constant par rapport à

h

$h$ .

- lim_{h \to 0} \sin (h)

$- lim_{h \to 0} \sin (h)$

Étape 2.2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

- \sin (lim_{h \to 0} h)

$- \sin (lim_{h \to 0} h)$

- \sin (lim_{h \to 0} h)

$- \sin (lim_{h \to 0} h)$

Étape 3

Évaluez la limite de

h

$h$ en insérant

0

$0$ pour

h

$h$ .

- \sin (0)

$- \sin (0)$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

La valeur exacte de

\sin (0)

$\sin (0)$ est

0

$0$ .

- 0

$- 0$

Étape 4.2

Multipliez

- 1

$- 1$ par

0

$0$ .

0

$0$

0

$0$