Calcul infinitésimal Exemples

lim_{n \to \infty} \frac{n}{2^{n}}

$lim_{n \to \infty} \frac{n}{2^{n}}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

\frac{lim_{n \to \infty} n}{lim_{n \to \infty} 2^{n}}

$\frac{lim_{n \to \infty} n}{lim_{n \to \infty} 2^{n}}$

Étape 1.1.2

La limite à l’infini d’un polynôme dont le coefficient directeur est positif à l’infini.

\frac{\infty}{lim_{n \to \infty} 2^{n}}

$\frac{\infty}{lim_{n \to \infty} 2^{n}}$

Étape 1.1.3

Comme l’exposant

n

$n$ approche de

\infty

$\infty$ , la quantité

2^{n}

$2^{n}$ approche de

\infty

$\infty$ .

\frac{\infty}{\infty}

$\frac{\infty}{\infty}$

Étape 1.1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

\frac{\infty}{\infty}

$\frac{\infty}{\infty}$

Étape 1.2

Comme

\frac{\infty}{\infty}

$\frac{\infty}{\infty}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

lim_{n \to \infty} \frac{n}{2^{n}} = lim_{n \to \infty} \frac{\frac{d}{d n} [n]}{\frac{d}{d n} [2^{n}]}

$lim_{n \to \infty} \frac{n}{2^{n}} = lim_{n \to \infty} \frac{\frac{d}{d n} [n]}{\frac{d}{d n} [2^{n}]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

lim_{n \to \infty} \frac{\frac{d}{d n} [n]}{\frac{d}{d n} [2^{n}]}

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{d}{d n} [n]}{\frac{d}{d n} [2^{n}]}$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que

\frac{d}{d n} [n^{n}]

$\frac{d}{d n} [n^{n}]$ est

n \cdot n^{n - 1}

$n \cdot n^{n - 1}$ où

n = 1

$n = 1$ .

lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d n} [2^{n}]}

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d n} [2^{n}]}$

Étape 1.3.3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que

\frac{d}{d n} [a^{n}]

$\frac{d}{d n} [a^{n}]$ est

a^{n} \ln (a)

$a^{n} \ln (a)$ où

a

$a$ =

2

$2$ .

lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^{n} \ln (2)}

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^{n} \ln (2)}$

lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^{n} \ln (2)}

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^{n} \ln (2)}$

lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^{n} \ln (2)}

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^{n} \ln (2)}$

Étape 2

Placez le terme

\frac{1}{\ln (2)}

$\frac{1}{\ln (2)}$ hors de la limite car il constant par rapport à

n

$n$ .

\frac{1}{\ln (2)} lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^{n}}

$\frac{1}{\ln (2)} lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^{n}}$

Étape 3

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction

\frac{1}{2^{n}}

$\frac{1}{2^{n}}$ approche de

0

$0$ .

\frac{1}{\ln (2)} \cdot 0

$\frac{1}{\ln (2)} \cdot 0$

Étape 4

Multipliez

\frac{1}{\ln (2)}

$\frac{1}{\ln (2)}$ par

0

$0$ .

0

$0$