Calcul infinitésimal Exemples

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ ,

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$ ,

\frac{1}{8}

$\frac{1}{8}$ ,

\frac{1}{16}

$\frac{1}{16}$

Étape 1

C’est une séquence géométrique car il y a un rapport commun entre chaque terme. Dans ce cas, la multiplication du terme précédent dans la séquence par

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ produit le terme suivant. En d’autres termes,

a_{n} = a_{1} r^{n - 1}

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ .

Séquence géométrique :

r = \frac{1}{2}

$r = \frac{1}{2}$

Étape 2

C’est la forme d’une séquence géométrique.

a_{n} = a_{1} r^{n - 1}

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$

Étape 3

Remplacez les valeurs de

a_{1} = \frac{1}{2}

$a_{1} = \frac{1}{2}$ et

r = \frac{1}{2}

$r = \frac{1}{2}$ .

a_{n} = \frac{1}{2} {(\frac{1}{2})}^{n - 1}

$a_{n} = \frac{1}{2} {(\frac{1}{2})}^{n - 1}$

Étape 4

Multipliez

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ par

{(\frac{1}{2})}^{n - 1}

${(\frac{1}{2})}^{n - 1}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1

Multipliez

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ par

{(\frac{1}{2})}^{n - 1}

${(\frac{1}{2})}^{n - 1}$ .

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Étape 4.1.1

Élevez

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ à la puissance

1

$1$ .

a_{n} = {(\frac{1}{2})}^{1} {(\frac{1}{2})}^{n - 1}

$a_{n} = {(\frac{1}{2})}^{1} {(\frac{1}{2})}^{n - 1}$

Étape 4.1.2

Utilisez la règle de puissance

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

a_{n} = {(\frac{1}{2})}^{1 + n - 1}

$a_{n} = {(\frac{1}{2})}^{1 + n - 1}$

a_{n} = {(\frac{1}{2})}^{1 + n - 1}

$a_{n} = {(\frac{1}{2})}^{1 + n - 1}$

Étape 4.2

Associez les termes opposés dans

1 + n - 1

$1 + n - 1$ .

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Étape 4.2.1

Soustrayez

1

$1$ de

1

$1$ .

a_{n} = {(\frac{1}{2})}^{n + 0}

$a_{n} = {(\frac{1}{2})}^{n + 0}$

Étape 4.2.2

Additionnez

n

$n$ et

0

$0$ .

a_{n} = {(\frac{1}{2})}^{n}

$a_{n} = {(\frac{1}{2})}^{n}$

a_{n} = {(\frac{1}{2})}^{n}

$a_{n} = {(\frac{1}{2})}^{n}$

a_{n} = {(\frac{1}{2})}^{n}

$a_{n} = {(\frac{1}{2})}^{n}$

Étape 5

Appliquez la règle de produit à

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

a_{n} = \frac{1^{n}}{2^{n}}

$a_{n} = \frac{1^{n}}{2^{n}}$

Étape 6

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

a_{n} = \frac{1}{2^{n}}

$a_{n} = \frac{1}{2^{n}}$