Calcul infinitésimal Exemples

$y = \cot (x)$

Étape 1

La dérivée de $\cot (x)$ par rapport à $x$ est $- \csc^{2} (x)$ .

$f' (x) = - \csc^{2} (x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \csc^{2} (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)]$ .

$- \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \csc (x)$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\csc (x)$ .

$- (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- (2 u \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\csc (x)$ .

$- (2 \csc (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Étape 2.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 (\csc (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Étape 2.4

La dérivée de $\csc (x)$ par rapport à $x$ est $- \csc (x) \cot (x)$ .

$- 2 \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))$

Étape 2.5

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$2 \csc (x) (\csc (x) \cot (x))$

Étape 2.6

Élevez $\csc (x)$ à la puissance $1$ .

$2 (\csc^{1} (x) \csc (x)) \cot (x)$

Étape 2.7

Élevez $\csc (x)$ à la puissance $1$ .

$2 (\csc^{1} (x) \csc^{1} (x)) \cot (x)$

Étape 2.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 {\csc (x)}^{1 + 1} \cot (x)$

Étape 2.9

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = 2 \csc^{2} (x) \cot (x)$

Étape 3

Déterminez la dérivée troisième.

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Étape 3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 \csc^{2} (x) \cot (x)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x) \cot (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x) \cot (x)]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \csc^{2} (x)$ et $g (x) = \cot (x)$ .

$2 (\csc^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)] + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)])$

Étape 3.3

La dérivée de $\cot (x)$ par rapport à $x$ est $- \csc^{2} (x)$ .

$2 (\csc^{2} (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)])$

Étape 3.4

Multipliez $\csc^{2} (x)$ par $\csc^{2} (x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.4.1

Déplacez $\csc^{2} (x)$ .

$2 (\csc^{2} (x) \csc^{2} (x) \cdot - 1 + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)])$

Étape 3.4.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 ({\csc (x)}^{2 + 2} \cdot - 1 + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)])$

Étape 3.4.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$2 (\csc^{4} (x) \cdot - 1 + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)])$

Étape 3.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.5.1

Déplacez $- 1$ à gauche de $\csc^{4} (x)$ .

$2 (- 1 \cdot \csc^{4} (x) + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)])$

Étape 3.5.2

Réécrivez $- 1 \csc^{4} (x)$ comme $- \csc^{4} (x)$ .

$2 (- \csc^{4} (x) + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)])$

Étape 3.6

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \csc (x)$ .

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Étape 3.6.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\csc (x)$ .

$2 (- \csc^{4} (x) + \cot (x) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\csc (x)]))$

Étape 3.6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 (- \csc^{4} (x) + \cot (x) (2 u \frac{d}{d x} [\csc (x)]))$

Étape 3.6.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\csc (x)$ .

$2 (- \csc^{4} (x) + \cot (x) (2 \csc (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)]))$

Étape 3.7

Déplacez $2$ à gauche de $\cot (x)$ .

$2 (- \csc^{4} (x) + 2 \cdot \cot (x) \csc (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Étape 3.8

La dérivée de $\csc (x)$ par rapport à $x$ est $- \csc (x) \cot (x)$ .

$2 (- \csc^{4} (x) + 2 \cot (x) \csc (x) (- \csc (x) \cot (x)))$

Étape 3.9

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$2 (- \csc^{4} (x) - 2 \cot (x) \csc (x) (\csc (x) \cot (x)))$

Étape 3.10

Élevez $\cot (x)$ à la puissance $1$ .

$2 (- \csc^{4} (x) - 2 (\cot^{1} (x) \cot (x)) \csc (x) \csc (x))$

Étape 3.11

Élevez $\cot (x)$ à la puissance $1$ .

$2 (- \csc^{4} (x) - 2 (\cot^{1} (x) \cot^{1} (x)) \csc (x) \csc (x))$

Étape 3.12

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 (- \csc^{4} (x) - 2 {\cot (x)}^{1 + 1} \csc (x) \csc (x))$

Étape 3.13

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 (- \csc^{4} (x) - 2 \cot^{2} (x) \csc (x) \csc (x))$

Étape 3.14

Élevez $\csc (x)$ à la puissance $1$ .

$2 (- \csc^{4} (x) - 2 \cot^{2} (x) (\csc^{1} (x) \csc (x)))$

Étape 3.15

Élevez $\csc (x)$ à la puissance $1$ .

$2 (- \csc^{4} (x) - 2 \cot^{2} (x) (\csc^{1} (x) \csc^{1} (x)))$

Étape 3.16

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 (- \csc^{4} (x) - 2 \cot^{2} (x) {\csc (x)}^{1 + 1})$

Étape 3.17

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 (- \csc^{4} (x) - 2 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x))$

Étape 3.18

Simplifiez

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Étape 3.18.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 (- \csc^{4} (x)) + 2 (- 2 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x))$

Étape 3.18.2

Associez des termes.

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Étape 3.18.2.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 \csc^{4} (x) + 2 (- 2 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x))$

Étape 3.18.2.2

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$- 2 \csc^{4} (x) - 4 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x)$

Étape 3.18.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f''' (x) = - 4 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x) - 2 \csc^{4} (x)$

Étape 4

Déterminez la dérivée quatrième.

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Étape 4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 4 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x) - 2 \csc^{4} (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 4 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \csc^{4} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \csc^{4} (x)]$

Étape 4.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x)]$ .

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Étape 4.2.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x)$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [\cot^{2} (x) \csc^{2} (x)]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [\cot^{2} (x) \csc^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \csc^{4} (x)]$

Étape 4.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \cot^{2} (x)$ et $g (x) = \csc^{2} (x)$ .

$- 4 (\cot^{2} (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)] + \csc^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cot^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [- 2 \csc^{4} (x)]$

Étape 4.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \csc (x)$ .

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Étape 4.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\csc (x)$ .

$- 4 (\cot^{2} (x) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\csc (x)]) + \csc^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cot^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [- 2 \csc^{4} (x)]$

Étape 4.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 4 (\cot^{2} (x) (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\csc (x)]) + \csc^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cot^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [- 2 \csc^{4} (x)]$

Étape 4.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\csc (x)$ .

$- 4 (\cot^{2} (x) (2 \csc (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)]) + \csc^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cot^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [- 2 \csc^{4} (x)]$

Étape 4.2.4

La dérivée de $\csc (x)$ par rapport à $x$ est $- \csc (x) \cot (x)$ .

$- 4 (\cot^{2} (x) (2 \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))) + \csc^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cot^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [- 2 \csc^{4} (x)]$

Étape 4.2.5

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \cot (x)$ .

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Étape 4.2.5.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $\cot (x)$ .

$- 4 (\cot^{2} (x) (2 \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))) + \csc^{2} (x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cot (x)])) + \frac{d}{d x} [- 2 \csc^{4} (x)]$

Étape 4.2.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 4 (\cot^{2} (x) (2 \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))) + \csc^{2} (x) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\cot (x)])) + \frac{d}{d x} [- 2 \csc^{4} (x)]$

Étape 4.2.5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\cot (x)$ .

$- 4 (\cot^{2} (x) (2 \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))) + \csc^{2} (x) (2 \cot (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])) + \frac{d}{d x} [- 2 \csc^{4} (x)]$

Étape 4.2.6

La dérivée de $\cot (x)$ par rapport à $x$ est $- \csc^{2} (x)$ .

$- 4 (\cot^{2} (x) (2 \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))) + \csc^{2} (x) (2 \cot (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} [- 2 \csc^{4} (x)]$

Étape 4.2.7

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 4 (\cot^{2} (x) (- 2 \csc (x) (\csc (x) \cot (x))) + \csc^{2} (x) (2 \cot (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} [- 2 \csc^{4} (x)]$

Étape 4.2.8

Élevez $\csc (x)$ à la puissance $1$ .

$- 4 (\cot^{2} (x) (- 2 (\csc^{1} (x) \csc (x)) \cot (x)) + \csc^{2} (x) (2 \cot (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} [- 2 \csc^{4} (x)]$

Étape 4.2.9

Élevez $\csc (x)$ à la puissance $1$ .

$- 4 (\cot^{2} (x) (- 2 (\csc^{1} (x) \csc^{1} (x)) \cot (x)) + \csc^{2} (x) (2 \cot (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} [- 2 \csc^{4} (x)]$

Étape 4.2.10

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 4 (\cot^{2} (x) (- 2 {\csc (x)}^{1 + 1} \cot (x)) + \csc^{2} (x) (2 \cot (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} [- 2 \csc^{4} (x)]$

Étape 4.2.11

Additionnez $1$ et $1$ .

$- 4 (\cot^{2} (x) (- 2 \csc^{2} (x) \cot (x)) + \csc^{2} (x) (2 \cot (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} [- 2 \csc^{4} (x)]$

Étape 4.2.12

Multipliez $\cot^{2} (x)$ par $\cot (x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.2.12.1

Déplacez $\cot (x)$ .

$- 4 (\cot (x) \cot^{2} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{2} (x) (2 \cot (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} [- 2 \csc^{4} (x)]$

Étape 4.2.12.2

Multipliez $\cot (x)$ par $\cot^{2} (x)$ .

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Étape 4.2.12.2.1

Élevez $\cot (x)$ à la puissance $1$ .

$- 4 (\cot^{1} (x) \cot^{2} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{2} (x) (2 \cot (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} [- 2 \csc^{4} (x)]$

Étape 4.2.12.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 4 ({\cot (x)}^{1 + 2} (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{2} (x) (2 \cot (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} [- 2 \csc^{4} (x)]$

Étape 4.2.12.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$- 4 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{2} (x) (2 \cot (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} [- 2 \csc^{4} (x)]$

Étape 4.2.13

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 4 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{2} (x) (- 2 \cot (x) \csc^{2} (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \csc^{4} (x)]$

Étape 4.2.14

Multipliez $\csc^{2} (x)$ par $\csc^{2} (x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.2.14.1

Déplacez $\csc^{2} (x)$ .

$- 4 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{2} (x) \csc^{2} (x) (- 2 \cot (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \csc^{4} (x)]$

Étape 4.2.14.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 4 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + {\csc (x)}^{2 + 2} (- 2 \cot (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \csc^{4} (x)]$

Étape 4.2.14.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$- 4 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{4} (x) (- 2 \cot (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \csc^{4} (x)]$

Étape 4.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 \csc^{4} (x)]$ .

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Étape 4.3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 \csc^{4} (x)$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [\csc^{4} (x)]$ .

$- 4 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{4} (x) (- 2 \cot (x))) - 2 \frac{d}{d x} [\csc^{4} (x)]$

Étape 4.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = \csc (x)$ .

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Étape 4.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{3}$ comme $\csc (x)$ .

$- 4 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{4} (x) (- 2 \cot (x))) - 2 (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{4}] \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Étape 4.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ est $n {u_{3}}^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$- 4 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{4} (x) (- 2 \cot (x))) - 2 (4 {u_{3}}^{3} \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Étape 4.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{3}$ par $\csc (x)$ .

$- 4 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{4} (x) (- 2 \cot (x))) - 2 (4 \csc^{3} (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Étape 4.3.3

La dérivée de $\csc (x)$ par rapport à $x$ est $- \csc (x) \cot (x)$ .

$- 4 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{4} (x) (- 2 \cot (x))) - 2 (4 \csc^{3} (x) (- \csc (x) \cot (x)))$

Étape 4.3.4

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$- 4 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{4} (x) (- 2 \cot (x))) - 2 (- 4 \csc^{3} (x) (\csc (x) \cot (x)))$

Étape 4.3.5

Élevez $\csc (x)$ à la puissance $1$ .

$- 4 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{4} (x) (- 2 \cot (x))) - 2 (- 4 (\csc^{1} (x) \csc^{3} (x)) \cot (x))$

Étape 4.3.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 4 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{4} (x) (- 2 \cot (x))) - 2 (- 4 {\csc (x)}^{1 + 3} \cot (x))$

Étape 4.3.7

Additionnez $1$ et $3$ .

$- 4 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{4} (x) (- 2 \cot (x))) - 2 (- 4 \csc^{4} (x) \cot (x))$

Étape 4.3.8

Multipliez $- 4$ par $- 2$ .

$- 4 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{4} (x) (- 2 \cot (x))) + 8 \csc^{4} (x) \cot (x)$

Étape 4.4

Simplifiez

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Étape 4.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 4 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x))) - 4 (\csc^{4} (x) (- 2 \cot (x))) + 8 \csc^{4} (x) \cot (x)$

Étape 4.4.2

Associez des termes.

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Étape 4.4.2.1

Multipliez $- 2$ par $- 4$ .

$8 (\cot^{3} (x) (\csc^{2} (x))) - 4 (\csc^{4} (x) (- 2 \cot (x))) + 8 \csc^{4} (x) \cot (x)$

Étape 4.4.2.2

Multipliez $- 2$ par $- 4$ .

$8 \cot^{3} (x) \csc^{2} (x) + 8 (\csc^{4} (x) (\cot (x))) + 8 \csc^{4} (x) \cot (x)$

Étape 4.4.2.3

Additionnez $8 \csc^{4} (x) \cot (x)$ et $8 \csc^{4} (x) \cot (x)$ .

$f^{4} (x) = 8 \cot^{3} (x) \csc^{2} (x) + 16 \csc^{4} (x) \cot (x)$