Calcul infinitésimal Exemples

\int \cos^{2} (y) d y

$\int \cos^{2} (y) d y$

Étape 1

Utilisez la formule de l’angle moitié pour réécrire

\cos^{2} (y)

$\cos^{2} (y)$ en

\frac{1 + \cos (2 y)}{2}

$\frac{1 + \cos (2 y)}{2}$ .

\int \frac{1 + \cos (2 y)}{2} d y

$\int \frac{1 + \cos (2 y)}{2} d y$

Étape 2

Comme

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ est constant par rapport à

y

$y$ , placez

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 y) d y

$\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 y) d y$

Étape 3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

\frac{1}{2} (\int d y + \int \cos (2 y) d y)

$\frac{1}{2} (\int d y + \int \cos (2 y) d y)$

Étape 4

Appliquez la règle de la constante.

\frac{1}{2} (y + C + \int \cos (2 y) d y)

$\frac{1}{2} (y + C + \int \cos (2 y) d y)$

Étape 5

Laissez

u = 2 y

$u = 2 y$ . Alors

d u = 2 d y

$d u = 2 d y$ , donc

\frac{1}{2} d u = d y

$\frac{1}{2} d u = d y$ . Réécrivez avec

u

$u$ et

d

$d$

u

$u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Laissez

u = 2 y

$u = 2 y$ . Déterminez

\frac{d u}{d y}

$\frac{d u}{d y}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.1

Différenciez

2 y

$2 y$ .

\frac{d}{d y} [2 y]

$\frac{d}{d y} [2 y]$

Étape 5.1.2

Comme

2

$2$ est constant par rapport à

y

$y$ , la dérivée de

2 y

$2 y$ par rapport à

y

$y$ est

2 \frac{d}{d y} [y]

$2 \frac{d}{d y} [y]$ .

2 \frac{d}{d y} [y]

$2 \frac{d}{d y} [y]$

Étape 5.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que

\frac{d}{d y} [y^{n}]

$\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est

n y^{n - 1}

$n y^{n - 1}$ où

n = 1

$n = 1$ .

2 \cdot 1

$2 \cdot 1$

Étape 5.1.4

Multipliez

2

$2$ par

1

$1$ .

2

$2$

2

$2$

Étape 5.2

Réécrivez le problème en utilisant

u

$u$ et

d u

$d u$ .

\frac{1}{2} (y + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)

$\frac{1}{2} (y + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

\frac{1}{2} (y + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)

$\frac{1}{2} (y + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Étape 6

Associez

\cos (u)

$\cos (u)$ et

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

\frac{1}{2} (y + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)

$\frac{1}{2} (y + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Étape 7

Comme

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ est constant par rapport à

u

$u$ , placez

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

\frac{1}{2} (y + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)

$\frac{1}{2} (y + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

Étape 8

L’intégrale de

\cos (u)

$\cos (u)$ par rapport à

u

$u$ est

\sin (u)

$\sin (u)$ .

\frac{1}{2} (y + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))

$\frac{1}{2} (y + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Étape 9

Simplifiez

\frac{1}{2} (y + \frac{1}{2} \sin (u)) + C

$\frac{1}{2} (y + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Étape 10

Remplacez toutes les occurrences de

u

$u$ par

2 y

$2 y$ .

\frac{1}{2} (y + \frac{1}{2} \sin (2 y)) + C

$\frac{1}{2} (y + \frac{1}{2} \sin (2 y)) + C$

Étape 11

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1

Associez

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ et

\sin (2 y)

$\sin (2 y)$ .

\frac{1}{2} (y + \frac{\sin (2 y)}{2}) + C

$\frac{1}{2} (y + \frac{\sin (2 y)}{2}) + C$

Étape 11.2

Appliquez la propriété distributive.

\frac{1}{2} y + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 y)}{2} + C

$\frac{1}{2} y + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 y)}{2} + C$

Étape 11.3

Associez

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ et

y

$y$ .

\frac{y}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 y)}{2} + C

$\frac{y}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 y)}{2} + C$

Étape 11.4

Multipliez

\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 y)}{2}

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 y)}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.4.1

Multipliez

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ par

\frac{\sin (2 y)}{2}

$\frac{\sin (2 y)}{2}$ .

\frac{y}{2} + \frac{\sin (2 y)}{2 \cdot 2} + C

$\frac{y}{2} + \frac{\sin (2 y)}{2 \cdot 2} + C$

Étape 11.4.2

Multipliez

2

$2$ par

2

$2$ .

\frac{y}{2} + \frac{\sin (2 y)}{4} + C

$\frac{y}{2} + \frac{\sin (2 y)}{4} + C$

\frac{y}{2} + \frac{\sin (2 y)}{4} + C

$\frac{y}{2} + \frac{\sin (2 y)}{4} + C$

\frac{y}{2} + \frac{\sin (2 y)}{4} + C

$\frac{y}{2} + \frac{\sin (2 y)}{4} + C$

Étape 12

Remettez les termes dans l’ordre.

\frac{1}{2} y + \frac{1}{4} \sin (2 y) + C

$\frac{1}{2} y + \frac{1}{4} \sin (2 y) + C$