Calcul infinitésimal Exemples

$\int \sin (5 t) \cos (5 t) d t$

Étape 1

Laissez $u_{2} = \sin (5 t)$ . Alors $d u_{2} = 5 \cos (5 t) d t$ , donc $\frac{1}{5} d u_{2} = \cos (5 t) d t$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 1.1

Laissez $u_{2} = \sin (5 t)$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $\sin (5 t)$ .

$\frac{d}{d t} [\sin (5 t)]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = \sin (t)$ et $g (t) = 5 t$ .

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Étape 1.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $5 t$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d t} [5 t]$

Étape 1.1.2.2

La dérivée de $\sin (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d t} [5 t]$

Étape 1.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $5 t$ .

$\cos (5 t) \frac{d}{d t} [5 t]$

Étape 1.1.3

Différenciez.

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Étape 1.1.3.1

Comme $5$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $5 t$ par rapport à $t$ est $5 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\cos (5 t) (5 \frac{d}{d t} [t])$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\cos (5 t) (5 \cdot 1)$

Étape 1.1.3.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.3.3.1

Multipliez $5$ par $1$ .

$\cos (5 t) \cdot 5$

Étape 1.1.3.3.2

Déplacez $5$ à gauche de $\cos (5 t)$ .

$5 \cos (5 t)$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\int u_{2} \frac{1}{5} d u_{2}$

Étape 2

Associez $u_{2}$ et $\frac{1}{5}$ .

$\int \frac{u_{2}}{5} d u_{2}$

Étape 3

Comme $\frac{1}{5}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{5}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{5} \int u_{2} d u_{2}$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u_{2}$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{5} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Réécrivez $\frac{1}{5} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ comme $\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Étape 5.2

Simplifiez

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Étape 5.2.1

Multipliez $\frac{1}{5}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{5 \cdot 2} {u_{2}}^{2} + C$

Étape 5.2.2

Multipliez $5$ par $2$ .

$\frac{1}{10} {u_{2}}^{2} + C$

Étape 6

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\sin (5 t)$ .

$\frac{1}{10} \sin^{2} (5 t) + C$