Calcul infinitésimal Exemples

\int \sin (3 t) d t

$\int \sin (3 t) d t$

Étape 1

Laissez

u = 3 t

$u = 3 t$ . Alors

d u = 3 d t

$d u = 3 d t$ , donc

\frac{1}{3} d u = d t

$\frac{1}{3} d u = d t$ . Réécrivez avec

u

$u$ et

d

$d$

u

$u$ .

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Étape 1.1

Laissez

u = 3 t

$u = 3 t$ . Déterminez

\frac{d u}{d t}

$\frac{d u}{d t}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez

3 t

$3 t$ .

\frac{d}{d t} [3 t]

$\frac{d}{d t} [3 t]$

Étape 1.1.2

Comme

3

$3$ est constant par rapport à

t

$t$ , la dérivée de

3 t

$3 t$ par rapport à

t

$t$ est

3 \frac{d}{d t} [t]

$3 \frac{d}{d t} [t]$ .

3 \frac{d}{d t} [t]

$3 \frac{d}{d t} [t]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que

\frac{d}{d t} [t^{n}]

$\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est

n t^{n - 1}

$n t^{n - 1}$ où

n = 1

$n = 1$ .

3 \cdot 1

$3 \cdot 1$

Étape 1.1.4

Multipliez

3

$3$ par

1

$1$ .

3

$3$

3

$3$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant

u

$u$ et

d u

$d u$ .

\int \sin (u) \frac{1}{3} d u

$\int \sin (u) \frac{1}{3} d u$

\int \sin (u) \frac{1}{3} d u

$\int \sin (u) \frac{1}{3} d u$

Étape 2

Associez

\sin (u)

$\sin (u)$ et

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ .

\int \frac{\sin (u)}{3} d u

$\int \frac{\sin (u)}{3} d u$

Étape 3

Comme

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ est constant par rapport à

u

$u$ , placez

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

\frac{1}{3} \int \sin (u) d u

$\frac{1}{3} \int \sin (u) d u$

Étape 4

L’intégrale de

\sin (u)

$\sin (u)$ par rapport à

u

$u$ est

- \cos (u)

$- \cos (u)$ .

\frac{1}{3} (- \cos (u) + C)

$\frac{1}{3} (- \cos (u) + C)$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Simplifiez

\frac{1}{3} (- \cos (u)) + C

$\frac{1}{3} (- \cos (u)) + C$

Étape 5.2

Associez

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ et

\cos (u)

$\cos (u)$ .

- \frac{\cos (u)}{3} + C

$- \frac{\cos (u)}{3} + C$

- \frac{\cos (u)}{3} + C

$- \frac{\cos (u)}{3} + C$

Étape 6

Remplacez toutes les occurrences de

u

$u$ par

3 t

$3 t$ .

- \frac{\cos (3 t)}{3} + C

$- \frac{\cos (3 t)}{3} + C$

Étape 7

Remettez les termes dans l’ordre.

- \frac{1}{3} \cos (3 t) + C

$- \frac{1}{3} \cos (3 t) + C$

\int_{}^{} \sin (3 t) d t

$\int_{}^{} \sin (3 t) d t$

(

(

)

)

|

|

[

[

]

]

√

√





≥

≥





∫

∫













7

7

8

8

9

9













≤

≤





°

°

θ

θ









4

4

5

5

6

6

/

/

^

^

×

×

>

>





π

π













1

1

2

2

3

3

-

-

+

+

÷

÷

<

<





∞

∞





!

!



,

,

0

0

.

.

%

%



=

=









[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$