Calcul infinitésimal Exemples

$\int \sin (2 x) + \cos (x) d x$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int \sin (2 x) d x + \int \cos (x) d x$

Étape 2

Laissez $u = 2 x$ . Alors $d u = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.1

Laissez $u = 2 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 2.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 2.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \sin (u) \frac{1}{2} d u + \int \cos (x) d x$

Étape 3

Associez $\sin (u)$ et $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\sin (u)}{2} d u + \int \cos (x) d x$

Étape 4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int \sin (u) d u + \int \cos (x) d x$

Étape 5

L’intégrale de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $- \cos (u)$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (u) + C) + \int \cos (x) d x$

Étape 6

L’intégrale de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $\sin (x)$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (u) + C) + \sin (x) + C$

Étape 7

Simplifiez

$- \frac{\cos (u)}{2} + \sin (x) + C$

Étape 8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$- \frac{\cos (2 x)}{2} + \sin (x) + C$

Étape 9

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \frac{1}{2} \cos (2 x) + \sin (x) + C$