Calcul infinitésimal Exemples

$\int \sin (2 x) + \cos^{2} (2 x) d x$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int \sin (2 x) d x + \int \cos^{2} (2 x) d x$

Étape 2

Laissez $u_{1} = 2 x$ . Alors $d u_{1} = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 2.1

Laissez $u_{1} = 2 x$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 2.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 2.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\int \sin (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1} + \int \cos^{2} (2 x) d x$

Étape 3

Associez $\sin (u_{1})$ et $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\sin (u_{1})}{2} d u_{1} + \int \cos^{2} (2 x) d x$

Étape 4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int \sin (u_{1}) d u_{1} + \int \cos^{2} (2 x) d x$

Étape 5

L’intégrale de $\sin (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $- \cos (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \int \cos^{2} (2 x) d x$

Étape 6

Laissez $u_{2} = 2 x$ . Alors $d u_{2} = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 6.1

Laissez $u_{2} = 2 x$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 6.1.1

Différenciez $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 6.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 6.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 6.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 6.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \int \cos^{2} (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}$

Étape 7

Associez $\cos^{2} (u_{2})$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \int \frac{\cos^{2} (u_{2})}{2} d u_{2}$

Étape 8

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{2} \int \cos^{2} (u_{2}) d u_{2}$

Étape 9

Utilisez la formule de l’angle moitié pour réécrire $\cos^{2} (u_{2})$ en $\frac{1 + \cos (2 u_{2})}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{2} \int \frac{1 + \cos (2 u_{2})}{2} d u_{2}$

Étape 10

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 u_{2}) d u_{2})$

Étape 11

Simplifiez

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Étape 11.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{2 \cdot 2} \int 1 + \cos (2 u_{2}) d u_{2}$

Étape 11.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{4} \int 1 + \cos (2 u_{2}) d u_{2}$

Étape 12

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{4} (\int d u_{2} + \int \cos (2 u_{2}) d u_{2})$

Étape 13

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{4} (u_{2} + C + \int \cos (2 u_{2}) d u_{2})$

Étape 14

Laissez $u_{3} = 2 u_{2}$ . Alors $d u_{3} = 2 d u_{2}$ , donc $\frac{1}{2} d u_{3} = d u_{2}$ . Réécrivez avec $u_{3}$ et $d$ $u_{3}$ .

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Étape 14.1

Laissez $u_{3} = 2 u_{2}$ . Déterminez $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ .

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Étape 14.1.1

Différenciez $2 u_{2}$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [2 u_{2}]$

Étape 14.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $u_{2}$ , la dérivée de $2 u_{2}$ par rapport à $u_{2}$ est $2 \frac{d}{d u_{2}} [u_{2}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{2}} [u_{2}]$

Étape 14.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 14.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 14.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{3}$ et $d u_{3}$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{4} (u_{2} + C + \int \cos (u_{3}) \frac{1}{2} d u_{3})$

Étape 15

Associez $\cos (u_{3})$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{4} (u_{2} + C + \int \frac{\cos (u_{3})}{2} d u_{3})$

Étape 16

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{3}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{4} (u_{2} + C + \frac{1}{2} \int \cos (u_{3}) d u_{3})$

Étape 17

L’intégrale de $\cos (u_{3})$ par rapport à $u_{3}$ est $\sin (u_{3})$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{4} (u_{2} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{3}) + C))$

Étape 18

Simplifiez

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Étape 18.1

Simplifiez

$- \frac{\cos (u_{1})}{2} + \frac{1}{4} (u_{2} + \frac{1}{2} \sin (u_{3})) + C$

Étape 18.2

Simplifiez

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Étape 18.2.1

Pour écrire $\frac{1}{4} (u_{2} + \frac{1}{2} \sin (u_{3}))$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{\cos (u_{1})}{2} + \frac{1}{4} (u_{2} + \frac{1}{2} \sin (u_{3})) \cdot \frac{2}{2} + C$

Étape 18.2.2

Associez $\frac{1}{4} (u_{2} + \frac{1}{2} \sin (u_{3}))$ et $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{\cos (u_{1})}{2} + \frac{\frac{1}{4} (u_{2} + \frac{1}{2} \sin (u_{3})) \cdot 2}{2} + C$

Étape 18.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- \cos (u_{1}) + \frac{1}{4} (u_{2} + \frac{1}{2} \sin (u_{3})) \cdot 2}{2} + C$

Étape 18.2.4

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sin (u_{3})$ .

$\frac{- \cos (u_{1}) + \frac{1}{4} (u_{2} + \frac{\sin (u_{3})}{2}) \cdot 2}{2} + C$

Étape 18.2.5

Associez $2$ et $\frac{1}{4}$ .

$\frac{- \cos (u_{1}) + \frac{2}{4} (u_{2} + \frac{\sin (u_{3})}{2})}{2} + C$

Étape 18.2.6

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 18.2.6.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{- \cos (u_{1}) + \frac{2 (1)}{4} (u_{2} + \frac{\sin (u_{3})}{2})}{2} + C$

Étape 18.2.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 18.2.6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{- \cos (u_{1}) + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} (u_{2} + \frac{\sin (u_{3})}{2})}{2} + C$

Étape 18.2.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- \cos (u_{1}) + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} (u_{2} + \frac{\sin (u_{3})}{2})}{2} + C$

Étape 18.2.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- \cos (u_{1}) + \frac{1}{2} (u_{2} + \frac{\sin (u_{3})}{2})}{2} + C$

Étape 19

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 19.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $2 x$ .

$\frac{- \cos (2 x) + \frac{1}{2} (u_{2} + \frac{\sin (u_{3})}{2})}{2} + C$

Étape 19.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $2 x$ .

$\frac{- \cos (2 x) + \frac{1}{2} (2 x + \frac{\sin (u_{3})}{2})}{2} + C$

Étape 19.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{3}$ par $2 u_{2}$ .

$\frac{- \cos (2 x) + \frac{1}{2} (2 x + \frac{\sin (2 u_{2})}{2})}{2} + C$

Étape 19.4

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $2 x$ .

$\frac{- \cos (2 x) + \frac{1}{2} (2 x + \frac{\sin (2 (2 x))}{2})}{2} + C$

Étape 20

Simplifiez

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Étape 20.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{- \cos (2 x) + \frac{1}{2} (2 x + \frac{\sin (4 x)}{2})}{2} + C$

Étape 20.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- \cos (2 x) + \frac{1}{2} (2 x) + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (4 x)}{2}}{2} + C$

Étape 20.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 20.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$\frac{- \cos (2 x) + \frac{1}{2} (2 (x)) + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (4 x)}{2}}{2} + C$

Étape 20.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- \cos (2 x) + \frac{1}{2} (2 x) + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (4 x)}{2}}{2} + C$

Étape 20.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- \cos (2 x) + x + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (4 x)}{2}}{2} + C$

Étape 20.4

Multipliez $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (4 x)}{2}$ .

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Étape 20.4.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{\sin (4 x)}{2}$ .

$\frac{- \cos (2 x) + x + \frac{\sin (4 x)}{2 \cdot 2}}{2} + C$

Étape 20.4.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{- \cos (2 x) + x + \frac{\sin (4 x)}{4}}{2} + C$

Étape 21

Simplifiez

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Étape 21.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- \cos (2 x)$ .

$\frac{- (\cos (2 x)) + x + \frac{\sin (4 x)}{4}}{2} + C$

Étape 21.2

Factorisez $- 1$ à partir de $x$ .

$\frac{- (\cos (2 x)) - 1 (- x) + \frac{\sin (4 x)}{4}}{2} + C$

Étape 21.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (\cos (2 x)) - 1 (- x)$ .

$\frac{- (\cos (2 x) - x) + \frac{\sin (4 x)}{4}}{2} + C$

Étape 21.4

Factorisez $- 1$ à partir de $\frac{\sin (4 x)}{4}$ .

$\frac{- (\cos (2 x) - x) - \frac{- \sin (4 x)}{4}}{2} + C$

Étape 21.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (\cos (2 x) - x) - \frac{- \sin (4 x)}{4}$ .

$\frac{- (\cos (2 x) - x + \frac{- \sin (4 x)}{4})}{2} + C$

Étape 21.6

Réécrivez $- (\cos (2 x) - x + \frac{- \sin (4 x)}{4})$ comme $- 1 (\cos (2 x) - x + \frac{- \sin (4 x)}{4})$ .

$\frac{- 1 (\cos (2 x) - x + \frac{- \sin (4 x)}{4})}{2} + C$

Étape 21.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{\cos (2 x) - x + \frac{- \sin (4 x)}{4}}{2} + C$

Étape 21.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{\cos (2 x) - x - \frac{\sin (4 x)}{4}}{2} + C$

Étape 21.9

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \frac{1}{2} (\cos (2 x) - x - \frac{1}{4} \sin (4 x)) + C$